Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ecuación de Lagrange para θ 1 ,
donde
d
dt
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ 1
)
− ∂L
∂θ 1
= 0, (1.250)
∂L
∂θ 1
= −m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 sin(θ 1 − θ 2 ) − (m 1 + m 2 )gl 1 sin θ 1
∂L
∂ ˙θ 1
= (m 1 + m 2 )l1 2 ˙θ 1 + m 2 l 1 l 2 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 )
( ∂L
∂ ˙θ 1
)
= (m 1 + m 2 )l 2 1 ¨θ 1 + m 2 l 1 l 2 [¨θ 2 cos(θ 1 − θ 2 ) − ˙θ 2 ( ˙θ 1 − ˙θ 2 ) sin(θ 1 − θ 2 ].
Por lo tanto, la ecuación de Lagrange para θ 1 queda
(m 1 +m 2 )l 2 1 ¨θ 1 +m 2 l 1 l 2 ¨θ2 cos(θ 1 −θ 2 )+m 2 l 1 l 2 ˙θ2 2 sin(θ 1 −θ 2 )+(m 1 +m 2 )gl 1 sin θ 1 = 0.
(1.251)
Ecuación de Lagrange para θ 2 es
donde
d
dt
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ 2
)
− ∂L
∂θ 2
= 0, (1.252)
∂L
∂θ 2
= m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 sin(θ 1 − θ 2 ) − m 2 gl 2 sin θ 2
∂L
∂ ˙θ 2
= m 2 l2 2 ˙θ 2 + m 2 l 1 l 2 ˙θ1 cos(θ 1 − θ 2 )
( ∂L
∂ ˙θ 2
)
= m 2 l 2 2 ¨θ 2 + m 2 l 1 l 2 [¨θ 1 cos(θ 1 − θ 2 ) − ˙θ 1 ( ˙θ 1 − ˙θ 2 ) sin(θ 1 − θ 2 ].
Luego, la ecuación de Lagrange para θ 2 queda
m 2 l 2 2 ¨θ 2 + m 2 l 1 l 2 ¨θ1 cos(θ 1 − θ 2 ) − m 2 l 1 l 2 ˙θ2 1 sin(θ 1 − θ 2 ) + m 2 gl 2 sin θ 2 = 0. (1.253)
Despejando ¨θ 1 y ¨θ 2 , las ecuaciones de Lagrange para θ 1 y θ 2 se pueden expresar
como
¨θ 1 = g(sin θ 2 cos ∆θ − µ sin θ 1 ) − (l 2 ˙θ2 2 + l 1 ˙θ2 1 cos ∆θ) sin ∆θ
l 1 (µ − cos 2 ∆θ)
¨θ 2 = gµ(sin θ 1 cos ∆θ − sin θ 2 ) − (µl 1 ˙θ2 1 + l 2 ˙θ2 2 cos ∆θ) sin ∆θ
l 2 (µ − cos 2 ∆θ)
(1.254)
, (1.255)
donde ∆θ ≡ θ 1 − θ 2 , y µ ≡ 1 + m 1 /m 2 . Las ecuaciones de movimiento del péndulo
doble son no lineales y acopladas para θ 1 y θ 2 .