Mecánica Clásica

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APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Energía relativista.
Si definimos la cantidad
entonces podemos expresar
E ≡ γmc 2 ,
E 2 − p 2 c 2 = m 2 c 4 = cte.
(A.53)
(A.54)
Los términos en la Ec. (A.54) poseen unidades de energía al cuadrado. Luego, la cantidad
E es un tipo de energía que se puede interpretar físicamente si hacemos una expansión
en términos de β = v c ≪ 1,
E = mc 2 (1 − β 2 ) −1/2 = mc
[1 2 + 1 ]
2 β2 − O(β 4 )
(A.55)
Luego,
E = mc 2 + 1 2 mv2 + · · ·
(A.56)
El primer término en la Ec. (A.56) es constante y no depende de la velocidad de la
partícula,
E o = mc 2 ,
(A.57)
por lo que representa la energía en reposo de la masa m. El segundo término en la
Ec. (A.56) corresponde a la energía cinética de la partícula para bajas velocidades. Luego,
la cantidad E se interpreta como la energía total relativista de una partícula libre,
E =
Lagrangiano para una partícula relativista.
mc2 √
1 − v2
c 2 = mc 2 + T rel . (A.58)
Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definición apropiada de p,
dada en la Ec. (A.48). Luego, las ecuaciones de Lagrange también se deben cumplir para
un Lagrangiano L definido apropiadamente,
d
dt
( ∂L
∂ẋ i
)
− ∂L
∂x i
= 0.
(A.59)
Consideremos una partícula con velocidad v y posición r en un potencial V (r). Luego,
∂L
∂ẋ i
= p i = γmẋ i ,
∂L
= ∂V = F i .
∂x i ∂x i
(A.60)
Supongamos la velocidad a lo largo del eje x i , i.e., ẋ i = v. Entonces,
∂L
= ∂L
∂ẋ i ∂v = γmv ,
(A.61)