Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Denotamos las posiciones relativas al centro de masa como
r ′ 1 = r 1 − R, (3.3)
r ′ 2 = r 2 − R, (3.4)
las cuales se pueden expresar en función del vector r,
r ′ 1 = r 1(m 1 + m 2 ) − m 1 r 1 − m 2 r 2
(m 1 + m 2 )
r ′ 2 = r 2(m 1 + m 2 ) − m 1 r 1 − m 2 r 2
(m 1 + m 2 )
= m 2(r 1 − r 2 )
(m 1 + m 2 ) = − m 2
(m 1 + m 2 ) r (3.5)
= m 1(r 2 − r 1 )
(m 1 + m 2 ) = m 1
r. (3.6)
(m 1 + m 2 )
Figura 3.2: Posiciones relativas al centro de masa.
La energía cinética total del sistema es la suma de la energía cinética del centro de
masa más la energía cinética relativa al centro de masa,
T = T cm + T rel , (3.7)
donde
y
T cm = 1 2 M T Ṙ2 = 1 2 (m 1 + m 2 )Ṙ 2 , (3.8)
T rel = 1 2 m 1ṙ ′2 + 1 2 m 2ṙ ′2
= 1 m 1 m 2 2
2 (m 1 + m 2 ) 2 ṙ2 + 1 m 2 1m 2
2 (m 1 + m 2 ) 2 ṙ2
= 1 (m 1 m 2 2 + m 2 1m 2 )
2 (m 1 + m 2 ) 2 ṙ 2
= 1 m 1 m 2
)ṙ2
2 (m 1 + m 2
donde hemos definimos la masa reducida,
= 1 2 µṙ2 , (3.9)
µ ≡ m 1m 2
(m 1 + m 2 ) . (3.10)