Mecánica Clásica

48
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Vimos que la coordenada generalizada es el ángulo θ. Entonces,
x = l sin θ,
y = −l cos θ,
ẋ = l ˙θ cos θ
ẏ = l ˙θ sin θ
Expresamos T y V en función de θ y ˙θ,
T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 ml2 ˙θ2 . (1.202)
Entonces, el Lagrangiano es
V = mgy = −mgl cos θ. (1.203)
L = T − V = 1 2 ml2 ˙θ2 + mgl cos θ. (1.204)
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L
∂θ = 0 (1.205)
Calculamos los términos
∂L
∂θ
= −mgl sin θ,
∂L
∂ ˙θ = ml2 ˙θ,
Luego, la ecuación de Lagrange queda como
d
dt
( ) ∂L
∂ ˙θ
= ml 2 ¨θ. (1.206)
ml 2 ¨θ + mgl sin θ = 0, (1.207)
¨θ + g l
sin θ (1.208)
que es la conocida ecuación del péndulo simple.
2. Oscilador armónico.
Figura 1.35: Oscilador armónico simple.
Usando la coordenada generalizada x, tenemos
T = 1 2 mẋ2 , V = 1 2 kx2 , (1.209)
L = T − V = 1 2 mẋ2 − 1 2 kx2 . (1.210)