Mecánica Clásica

62
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Coordenadas para la otra masa m 1 ,
y 1 ′ = y 1 ,
x ′ 1 = −x 1 ,
z 1 ′ = −z 1 .
(1.303)
Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = θ.
Tenemos,
T = 1 2 2m 1(ẋ 2 1 + ẏ 2 1 + ż 2 1) + 1 2 m 2ẏ 2 2
= m 1 (a 2 ˙θ2 + ω 2 a 2 sin 2 θ) + 2m 2 a 2 ˙θ2 sin 2 θ.
V = 2m 1 gy 1 + m 2 gy 2 = −2m 1 ga cos θ − 2m 2 ga cos θ.
L = T − V = m 1 (a 2 ˙θ2 + ω 2 a 2 sin 2 θ) + 2m 2 a 2 ˙θ2 sin 2 θ + 2(m 1 + m 2 )ga cos θ.
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0, (1.304)
∂θ
donde
∂L
(
∂
) ˙θ
d ∂l
dt ∂ ˙θ
∂L
∂θ
= 2m 1 a 2 ˙θ + 4m2 a 2 ˙θ sin 2 θ,
= 2m 1 a 2 ¨θ + 4m2 a 2 (¨θ sin 2 θ + 2 ˙θ 2 sin θ cos θ),
= 2m 1 ω 2 a 2 sin θ cos θ + 4m 2 a 2 ˙θ2 sin θ cos θ − 2(m 1 + m 2 )ga sin θ,
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange, obtenemos
2¨θa 2 (m 1 + 2m 2 sin 2 θ) + 4m 2 a 2 ˙θ2 sin θ cos θ (1.305)
−2m 1 ω 2 a 2 sin θ cos θ + 2(m 1 + m 2 )ga sin θ = 0,
Note que si ω = 0 y m 2 = 0, la ecuación se reduce a
que es la ecuación del péndulo simple.
¨θ + g sin θ = 0, (1.306)
a
13. Encuentre la ecuación de movimiento de una partícula de masa m que se mueve en
una dimensión x, cuyo Lagrangiano es
L = 1 2 m(ẋ2 − ω 2 x 2 )e γt , (1.307)
donde las constantes γ y ω son cantidades reales y positivas.