Mecánica Clásica

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.53
6. Péndulo doble.
Consiste en un péndulo de longitud l 1 y masa m 1 , del cual cuelga un segundo
péndulo de longitud l 2 y masa m 2 .
Figura 1.39: Péndulo doble.
Coordenadas generalizadas son q 1 = θ 1 , q 2 = θ 2 . Luego,
x 1 = l 1 sin θ
y 1 = −l 1 cos θ
⇒ ẋ 1 = l 1 ˙θ1 cos θ 1
⇒ ẏ 1 = l 1 ˙θ1 sin θ 1
(1.243)
x 2 = l 1 sin θ + l 2 sin θ 2
y 2 = −l 1 cos θ − l 2 cos θ 2
⇒ ẋ 2 = l 1 ˙θ1 cos θ 1 + l 2 ˙θ2 cos θ 2
⇒ ẏ 2 = l 1 ˙θ1 sin θ 1 + l 2 ˙θ2 sin θ 2
(1.244)
La energía cinética de partícula 1 es
La energía cinética de partícula 2 es
T 1 = 1 2 m 1v 2 1 = 1 2 m 1(ẋ 2 1 + ẏ 2 1) = 1 2 m 1l 2 1 ˙θ 2 1. (1.245)
T 2 = 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 2(ẋ 2 2 + ẏ 2 2)
= 1 2 m 2[l 2 1 ˙θ 2 1 + l 2 2 ˙θ 2 2 + 2l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 (cos θ 1 cos θ 2 + sin θ 1 sin θ 2 )]
= 1 2 m 2[l 2 1 ˙θ 2 1 + l 2 2 ˙θ 2 2 + 2l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 )]. (1.246)
Las energías potenciales de las partículas se pueden expresar como
V 1 = m 1 gy 1 = −m 1 gl 1 cos θ 1 (1.247)
V 2 = m 2 gy 2 = −m 2 g(l 1 cos θ 1 + l 2 cos θ 2 ). (1.248)
La energía cinética del sistema es T = T 1 +T 2 y la energía potencial es V = V 1 +V 2 .
El Lagrangiano del sistema es L = T − V , lo que conduce a
L = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ˙θ 2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ˙θ 2 2 + m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 )
+ (m 1 + m 2 )gl 1 cos θ 1 + m 2 gl 2 cos θ 2 . (1.249)