Mecánica Clásica

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 125
Ecuación de Kepler.
La dependencia temporal de la coordenada radial r(t) en una órbita elíptica puede
obtenerse por integración de la Ec. (3.27) para el potencial V = −k/r,
√ ∫ µ dr
t = √
, (3.152)
2
E −
l2
2µr 2 + k r
donde
E = − k 2a < 0 . (3.153)
Expresemos l en términos de los parámetros de la elipse a y e,
e 2 = 1 + 2El2
µk 2 = 1 − l2
aµk
(3.154)
⇒ l 2 = (1 − e 2 )aµk. (3.155)
Sustituyendo en la integral Ec. (3.152), tenemos
√ ∫ µ dr
t = √
2
− k 2a − (1 − e2 )ak
2r 2 + k r
√ ∫ µ r dr
= √
2 k √
−r2 − (1 − e
2a
2 )a 2 + 2ra
=
√ µa
k
∫
rdr
√
e2 a 2 − (r − a) 2 . (3.156)
Haciendo el cambio de variables
r = a(1 − e cos ψ) , (3.157)
dr = ae sin ψ dψ , (3.158)
la integral Ec. (3.156) queda
t =
=
=
√ ∫ µa a(1 − e cos ψ) ae sin ψ dψ
k ea √ 1 − cos 2 ψ
√ ∫ µa
3
(1 − e cos ψ) dψ
k
√
µa
3
(ψ − e sin ψ) + cte. (3.159)
k
Escogemos la condición inicial r(0) = r min = a(1 − e) en t = 0; lo que implica ψ = 0
para t = 0; luego la cte = 0 en la Ec. (3.159).