Mecánica Clásica

6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 251
Entonces, el Hamiltoniano es la función generadora de la transformación canónica
infinitesimal que corresponde a la evolución temporal de las coordenadas y momentos de
un sistema en el espacio de fase.
Consideremos el comportamiento del Hamiltoniano bajo una transformación canónica
infinitesimal generada por una función G. Supongamos una función general K(q i , p i )
definida en el espacio de fase. El cambio en la función K debido a una transformación
canónica infinitesimal, Ecs. (6.153)-(6.154), es
δK = K(Q i , P i ) − K(q i , p i )
= K(q i + ɛf i , p i + ɛg i ) − K(q i , p i )
= ɛ ∑ ( ∂K
f i + ∂K )
g i
∂q
i i ∂p i
= ɛ ∑ ( ∂K ∂G
− ∂K )
∂G
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
= ɛ [K, G]. (6.167)
Supongamos ahora que K = H; entonces el cambio en el Hamiltoniano bajo una
transformación canónica infinitesimal está dado por
δH = ɛ [H, G]. (6.168)
Si el Hamiltoniano es invariante ante la transformación canónica infinitesimal, debemos
tener δH = 0 y, por lo tanto,
[H, G] = 0 ⇒ dG
dt
= 0, (6.169)
puesto que ∂G
∂t
= 0. Luego, si el Hamiltoniano de un sistema es invariante bajo una
transformación canónica infinitesimal, la función generadora de esa transformación es
una cantidad conservada, δH = 0 ⇒ G = cte. Este resultado establece la conexión
entre simetrías y leyes de conservación para un sistema, y es equivalente al Teorema de
Noether en el formalismo Hamiltoniano. En comparación con la descripción Lagrangiana,
la relación entre invariancia y constantes de movimiento se expresa de manera más simple
en la formulación Hamiltoniana.
6.6. Propiedades de las transformaciones canónicas.
Sea
Q i = Q i (q j , p j , t), (6.170)
P i = P i (q j , p j , t), (6.171)
una transformación canónica. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: