Mecánica Clásica

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 91
La componente z del momento angular es
l z = mr 2 ˙ϕ, (2.113)
y la energía del sistema es
E = T + V = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) + mgr cot α . (2.114)
Sustituyendo ˙ϕ =
l z
en la ecuación para E, podemos expresar
mr2 E = 1 2 mṙ2 csc 2 α + 1 + mgr cot α
2 mr2 l 2 z
= 1 2 mṙ2 csc 2 α + V ef (r). (2.115)
La Ec. (2.115) tiene la forma de la energía de un sistema unidimensional, Ec. (2.103),
donde identificamos a = m csc 2 α, y
Luego, de la Ec. (2.115) podemos obtener
√ ∫ m
t(r) =
2 csc α
l 2 z
V ef (r) = 1 + mgr cot α . (2.116)
2 mr2 dr
√
E − Vef (r) . (2.117)
2. Período de un oscilador armónico con una E dada.
Figura 2.8: Energía potencial de un oscilador armónico con energía total E.
Las energía potencial es
V (x) = 1 2 kx2 (2.118)
La energía total es
E = T + V = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 = cte. (2.119)