Mecánica Clásica

4.3. MODOS NORMALES. 163
frecuencia ω k , pero con amplitudes a j (ω k ) que pueden ser distintas entre sí. Por ejemplo,
para el modo normal ξ 2 , con s = 2, tenemos
η 1 = a 1 (ω 2 )ξ 2 , η 2 = a 2 (ω 2 )ξ 2 , (4.89)
es decir, cada uno de los 2 grados de libertad oscila con la frecuencia ω 2 alrededor de su
posición de equilibrio, pero con amplitudes respectivas a 1 (ω 2 ) y a 2 (ω 2 ).
En general, la configuración de un modo normal ξ k está dada por las amplitudes
relativas correspondientes a ese modo; es decir, por los cocientes de las amplitudes a i(ω k )
a j (ω k ) .
En sistemas que presentan oscilaciones pequeñas con varios grados de libertad, la
frecuencia mayor corresponde al modo normal con amplitudes en fases opuestas.
Ejemplos.
1. Encontrar las frecuencias y la configuración de los modos normales de vibración en
un modelo de la molécula lineal CO 2 .
Figura 4.6: Modelo de la molécula triatómica lineal CO 2.
M es la masa del átomo C; m es masa de los átomos O; l es la separación entre las
posiciones de equilibrio de los átomos; la constante k describe la interacción C-O
como un resorte; l 1 , l 2 , miden las distancias entre los átomos fuera del equilibrio.
Sean x 01 , x 02 , x 03 las posiciones de equilibrio de las tres partículas, respectivamente.
Consideremos pequeños desplazamientos del equilibrio,
La energía cinética es
η i = x i − x 0i , i = 1, 2, 3. (4.90)
T = 1 2 mẋ2 1 + 1 2 Mẋ2 2 + 1 2 mẋ2 3
= 1 2 m ˙η2 1 + 1 2 M ˙η2 2 + 1 2 m ˙η2 3. (4.91)