Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 275
5. Sustituir α i (J 1 , . . . , J s ) en las derivadas ∂Wi
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ) que aparecen en la
Ec. (6.318), para obtener H ′ (J 1 , . . . , J s ).
6. Calcular las frecuencias
ω i (J j ) = ∂H′
∂ϕ i
(J 1 , . . . , J s ). (6.320)
La descripción del movimiento de un sistema finito completamente separable resulta
simple en términos de las variables de acción-ángulo: cada órbita C i trazada sobre el
plano (q i , p i ) es equivalente a una rotación sobre una circunferencia de un ángulo ϕ
con velocidad ángular constante ω i . El radio de la circunferencia corresponde al valor
constante J i .
En lenguaje topológico, cada curva cerrada C i se distorsiona continuamente en una circunferencia,
denotada en topología por el símbolo S 1 , debido a la transformación canónica
(q i , p i ) → (ϕ i , J i ). La trayectoria en el espacio de fase yace en todas esas s circunferencias
simultáneamente. Si s = 2, hay 2 circunferencias; para cada punto (ϕ 1 , J 1 ) de la primera
circunferencia S 1 existe una segunda circunferencia S 1 con valores de (ϕ 2 , J 2 ). Es decir,
a cada punto de S 1 está asociada otra S 1 . Esto describe un toroide, designado por
T 2 = S 1 ×S 1 . Entonces, la trayectoria transcurre sobre el toroide T 2 . Aunque esto se puede
visualizar con uno o dos grados de libertad; es más difícil de hacerlo para s en general.
En ese caso, la trayectoria tiene lugar sobre un s-toroide T s = S 1 × · · · × S 1 . Las variables
de acción-ángulo proveen una representación geométrica elegante del movimiento. de un
sistema completamente separable.
Figura 6.19: Variables de acción-ángulo y una trayectoria sobre un toroide para un sistema con
s = 2.
La trayectoria sobre un toroide T 2 es cerrada si el cociente de las frecuencias ω 1 /ω 2
es un número racional. En tal caso, se dice que la trayectoria es periódica. Si ω 1 /ω 2 es
igual a un número irracional; entonces la trayectoria se denomina cuasiperiódica, y en
su evolución cubre uniformemente toda la superficie del toroide. Del mismo modo, una
trayectoria sobre un s-toroide T s es cerrada o periódica si ω i /ω j es racional ∀i, j, mientras
que una trayectoria es cuasiperiódica si ω i /ω j es irracional ∀i, j.
Mediante variables de acción-ángulo, diferentes sistemas con el mismo número s de
grados de libertad pueden ser mapeados sobre un s-toroide. Luego, el movimiento sobre
un s-toroide constituye un tipo de sistema dinámico universal que abarca la dinámica de
sistemas separables aparentemente diferentes.