Mecánica Clásica

4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS. 171
4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas.
Consideremos el movimiento de pequeñas oscilaciones de un sistema sobre el cual
actúa una fuerza externa. Supongamos, además, que el movimiento ocurre en un medio
cuyo efecto sobre el movimento no puede ser despreciado. Cuando una partícula se mueve
en un medio, éste ejerce una fuerza de resistencia o fricción sobre la partícula que tiende
a retrasar su movimiento. La energía suministrada por la fuerza externa a la partícula
en movimiento eventualmente se disipa en el medio en forma de calor. Los movimientos
oscilatorios en presencia de fuerzas externas y de fricción, se denominan oscilaciones
forzadas y amortiguadas.
Para velocidades suficientemente pequeñas, se sabe experimentalmente que la fuerza
de fricción sobre un cuerpo que se mueve en un medio es opuesta a la dirección de la
velocidad del cuerpo y proporcional a su magnitud. Esto es, f fr = −αv, donde α > 0 es
el coeficiente de fricción característico del medio.
La fuerza externa puede tener cualquier forma; aqui consideraremos el caso de fuerzas
oscilatorias porque tienen mucho interés y aplicaciones en sistemas físicos. Esto es,
supondremos fuerzas externas de la forma F ext = f cos νt, donde f y ν son la amplitud
y la frecuencia angular de la fuerza, respectivamente.
Por simplicidad, consideremos un partícula que realiza un movimiento oscilatorio con
un grado de libertad, sujeto a una fuerza externa y amortiguado. Tomando en cuenta las
consideraciones anteriores, la ecuación de movimiento de la partícula es
mẍ = −kx − αẋ + f cos νt. (4.149)
Esta ecuación también describe el movimiento de un modo normal de un sistema con
varios grados de libertad, forzado y amortiguado en un medio homogéneo.
La Ec. (4.149) se puede escribir como
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = f cos νt, (4.150)
m
donde ω 2 = k/m y hemos definido la constante 2λ ≡ α/m. La Ec. (4.150) se puede
escribir en forma compleja como
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = f m eiνt . (4.151)
La Ec. (4.151) es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea. Su solucion tiene la
forma x = x h +x p , donde x h es la solución de la ecuación homogénea y x p es una solución
particular de la Ec. (4.151). La solución de la Ec. (4.150) corresponde a la parte real de
la solución de la Ec. (4.151).
Buscamos una solución particular de la Ec. (4.151) en la forma
x p = B e iνt = b e i(νt+δ) , (4.152)
donde B = b e iδ es una amplitud compleja, y b, δ ∈ R son parámetros a determinar.
Sustitución de x p en la Ec. (4.151) conduce a
−ν 2 b + i2λνb + ω 2 b = f m e−iδ . (4.153)