Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
donde M es la masa total del cuerpo y a ⊥ = a 2 1 + a 2 2 es la distancia perpendicular entre
ejes x 3 y x ′ 3. En general,
I ′ ii = I ii + Ma 2 ⊥ , (5.45)
donde a ⊥ es la distancia perpendicular entre ejes x i y x ′ i .
Demostración:
El tensor de inercia en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de
masa del cuerpo, es
I ik = ∑ ( )
m j r
2
j δ ik − x i x k . (5.46)
j
Supongamos un sistema diferente de coordenadas fijas (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3), cuyo origen O ′ se
encuentra en una posición a con respecto al centro de masa del cuerpo. La posición de
un punto P del cuerpo en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) es
Luego, en el sistema de coordenadas (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3), tenemos
r j = a + r ′ j, (5.47)
⇒ x i = a i + x ′ i. (5.48)
I ′ ik = ∑ j
m j (r ′2
j δ ik − x ′ ix ′ k) , (5.49)
donde
r ′2
j
= (r j − a) 2 = r 2 j + a 2 − 2 ∑ l
x l a l . (5.50)
Sustituyendo,
I ik ′ = ∑ j
= ∑ j
−2 ∑ j
[(
m j rj 2 + a 2 − 2 ∑ ) ]
x l a l δ ik − (x i − a i )(x k − a k ) (5.51)
l
( ) ∑
m j r
2
j δ ik − x i x k + m j (a 2 δ ik − a i a k ) (5.52)
∑
m j x l a l δ ik + ∑ j
l
j
m j x i a k + ∑ m j x k a i (5.53)
j
Pero en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ), tenemos
⎛ ⎞✟✯ 0
∑
m j x i a k = a k
⎝ ∑ m j x i (j) ⎠ = 0,
j
✟ ✟✟✟✟✟✟ j
(5.54)
⎛
⎞✟✯ 0
∑
m j x k a i = a i
⎝ ∑ m j x k (j) ⎠ = 0.
j
✟ ✟✟✟✟✟✟ j
(5.55)