Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde
Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:
f (y i (x, α), y ′ i(x, α), . . . , x) , i = 1, 2, . . . , s. (1.157)
y las η i (x) son funciones arbitrarias que satisfacen
y i (x, α) = y i (x) + αη i (x), (1.158)
η i (x 1 ) = η i (x 2 ) = 0. (1.159)
Consideremos la integral definida con las funciones y i (x, α) como argumentos,
I(α) =
∫ x2
x 1
f[y i (x, α), y ′ i(x, α), x]dx. (1.160)
La condición de que I(0) sea extremo, o que δI = 0, implica que
dI
dα∣ = 0. (1.161)
α=0
Calculamos
donde
dI
dα = ∫ x2
∂y i (x, α)
∂α
x 1
s∑
i=1
= η i (x);
[ ∂f ∂y i
∂y i ∂α + ∂f ∂y ′ ]
i
∂y i
′ dx, (1.162)
∂α
∂y i ′ (x, α)
= η ′
∂α
i(x). (1.163)
El segundo término en la suma de la Ec. (1.162) se integra por partes:
∫ x2
x 1
∂f
0 x
∂y i
′ η i(x)dx ′ ∂f
2
=
✟
∂y ✟✟✟✟✟✯ i
′ η i (x)
∣
x 1
∫ x2
−
en virtud de la condición Ec. (1.159) sobre las funciones η i (x). Luego,
La condición
implica las s condiciones
dI
dα = ∫ x2
d
dx
( ∂f
s∑
x −1 i=1
∂y ′ i
x 1
( )
d ∂f
dx ∂y i
′ η i (x)dx , (1.164)
[ ∂f
− d ( )] ∂f
∂y i dx ∂y i
′ η i (x)dx. (1.165)
dI
dα∣ = 0 , (1.166)
α=0
)
− ∂f
∂y i
= 0, i = 1, 2, . . . , s (1.167)
que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada función y i (x).