Mecánica Clásica

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Dinámica relativista.
Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatibles
con las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de Newton.
Einstein propuso redefinir el momento lineal de una partícula que se mueve con velocidad
u en un sistema S, del siguiente modo
p i = m dx i
dτ ,
(A.46)
donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la partícula está en
reposo), el cual está definido unívocamente (tiene el mismo valor) para todos los observadores
inerciales. Tenemos,
dx i
dτ = dx i
dt
Luego, el momento relativista es
p =
dt
dτ = dx i
dt
√
1
1 − u2
c 2 = γu i . (A.47)
mu
√
1 − u2
c 2 = mγu , (A.48)
donde u es la velocidad de la partícula en el sistema de referencia S.
La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,
F = dp
dt .
(A.49)
donde p está definido en la Ec. (A.48). En esta forma, la Segunda Ley de Newton es
invariante bajo las transformaciones de Lorentz,
dp
dt = dp′
dt ′ .
(A.50)
Note que en el límite de bajas velocidades, β = v c
≪ 1, obtenemos p ≈ mu.
Invariantes relativistas.
Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales.
Por ejemplo,
γ 2 (1 − β 2 ) = 1
(A.51)
tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando por la constante m 2 c 4 , obtenemos
otra cantidad invariante,
m 2 c 4 = m 2 c 4 γ 2 − p 2 c 2 = cte.
(A.52)
Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denomina invariante
de Lorentz.