Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
4. Encontrar las frecuencias del movimiento en el problema de Kepler utilizando variables
de acción-angulo.
El problema de Kepler se refiere en el potencial central V (r) = − k r
. Puesto que el
vector momento angular se conserva en un potencial central, el movimiento ocurre
en un plano perpendicular a la dirección de ese vector.
Usando coordenadas polares (r, θ) sobre el plano del movimiento, el Hamiltoniano
de una partícula de masa reducida µ en un potencial V (r) se puede expresar como
H(r, θ, p r , p θ ) = 1 ( )
p 2 r + p2 θ
2µ r 2 + V (r) = E. (6.368)
Asumimos separación de variables; luego escribimos los momentos
Sustituyendo en H, obtenemos
p r = ∂W r
∂r , (6.369)
p θ = ∂W θ
∂θ . (6.370)
1
2µ
lo cual se puede escribir como
[ (∂Wr ) 2
r 2 +
∂r
( ) 2 ∂Wr
+ 1 ( ) 2 ∂Wθ
∂r 2µr 2 + V (r) = E, (6.371)
∂θ
( ) 2 ∂Wθ
+ 2µ (V − E)]
= −
∂θ
( ) 2 ∂Wθ
. (6.372)
∂θ
El lado izquierdo de la Ec. (6.372) depende solamente de r, mientras que el lado
derecho depende de θ. Luego, ambos lados deben ser constantes e iguales. Entonces
debemos tener
∂W θ
∂θ = α θ = cte, (6.373)
( ∂Wr
∂r
) 2
+ 2µ (V − E) = − α2 θ
r 2 . (6.374)
La Ec. (6.373) implica que p θ = α θ = cte. El valor constante de p θ es la magnitud
del momento angular l. Entonces,
J θ = 1 ∮
p θ dθ = 1 ∮ ( ) ∂Wθ
dθ = 1 ∮
α θ dθ = α θ . (6.375)
2π C θ
2π C θ
∂θ 2π C θ
De las Ecs. (6.374) y (6.375), obtenemos
√
∂W r
∂r
= 2µ(E − V ) − J θ
2
r 2 . (6.376)