Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 273
Cada órbita C i tiene un período asociado; es decir, las variables q i y p i en el plano
(q i , p i ) se repiten en el tiempo. En general, los períodos de las órbitas C i pueden ser
distintos entre sí; como consequencia la trayectoria de todo el sistema en su espacio
de fase puede no ser periódica, en el sentido de que todas las 2s variables q i y p i se
repitan al cabo de un determinado intervalo de tiempo. Recordemos que las órbitas C i
son proyecciones en los distintos planos (q i , p i ) de la trayectoria del sistema en su espacio
de fase; todas las proyecciones no tienen que cerrarse necesariamente después de un
período de tiempo dado.
Las variables de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas y momentos, denotados
por (ϕ i , J i ), que resultan convenientes para describir la coexistencia de múltiples
movimientos periódicos en la dinámica de sistemas completamente separables con movimientos
finitos, i. e., que satisfacen las condiciones (1), (2) y (3).
Para esta clase de sistemas, podemos introducir una transformación canónica (q i , p i ) →
(ϕ i , J i ) tal que las nuevas coordenadas ϕ i sean cíclicas en el nuevo Hamiltoniano, i. e.,
H ′ (J 1 , . . . , J s ) = E. Definimos los nuevos momentos como las variables de acción
J i ≡ 1
2π
∮
C i
p i dq i , (6.309)
donde la integral se realiza sobre un ciclo completo de la coordenada q i a lo largo de la
órbita C i que yace en el plano (q i , p i ), ya sea retornando al valor inicial de q i o sobre un
intervalo qi 0.
Puesto que el sistema es completamente separable, podemos usar la Ec. (6.304) para
escribir
∮
J i =
C i
∂W i
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ) dq i = J i (α 1 , . . . , α s ) = cte, (6.310)
debido a que las α i son constantes. La Ec. (6.310) constituye un sistema de s ecuaciones
para las s variables de acción J i en función de las α i , las cuales puede ser invertidas
para obtener α i = α i (J 1 , . . . , J s ). Luego, las variables J i son un conjunto de funciones
independientes que pueden ser usadas como los nuevos momentos constantes. Entonces,
el nuevo Hamiltoniano se puede escribir H ′ (J 1 , . . . , J s ) = cte.
La función característica de Hamilton, que es generadora de la transformación canónica
(q i , p i ) → (ϕ i , J i ), debe tener la forma W (q i , J i ) = ∑ i W i(q i , J 1 , . . . , J s ). Las relaciones
de la transformación son
p i = ∂W i
∂q i
(q i , J 1 , . . . , J s ) , (6.311)
ϕ i = ∂W i
∂J i
(q i , J 1 , . . . , J s ) . (6.312)
Para entender el significado de las variables de ángulo, calculemos el cambio de una
variable ϕ i en un ciclo completo de la coordenada q i sobre una órbita C i , dado por
∮
∮ ( )
∂ ∂Wi
∆ϕ i = dϕ i =
dq i =
∂ ∮
∂W i
dq i
C i C i
∂q i ∂J i ∂J i C i
∂q i
∮
∂
= p i dq i = 2π ∂J i
= 2π . (6.313)
∂J i C i
∂J i