Mecánica Clásica

302
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Luego,
L ′ = L o
γ = L o
√
1 − v2
c 2 .
(A.42)
Como γ > 1, la longitud L ′ del objeto medida en S’ es menor que la longitud L o en S
donde el objeto se encuentra en reposo.
Dilatación del tiempo.
Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las mismas
coordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos eventos. El
tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S es
τ ≡ t 2 (x) − t 1 (x).
(A.43)
Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (A.33), dan para ese intervalo de
tiempo en S’,
∆t ′ = t ′ 2 − t ′ 1 = γ
(t 2 − β )
c x − γ
(t 1 − β )
c x = γ(t 2 − t 1 ). (A.44)
Luego,
∆t ′ τ
= γτ = √ .
1 − v2
c 2
(A.45)
Figura A.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en las
mismas coordenadas en S.
Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo propio
medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo más corto posible
entre dos eventos.