Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La velocidad angular de rotación del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego,
ϕ = ωt.
Restricciones:
f 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − a 2 = 0,
y
= tan ϕ = tan ωt
x
⇒ f 2 (x, y, z, t) = y − x tan ωt = 0.
(1.103)
La función f 2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas como
del tiempo. Tenemos k = 2; luego, s = 3(1) − 2 = 1. La coordenada generalizada
apropiada es q = θ.
Las transformaciones de coordenadas r(q) son
z = a cos θ
x = a sin θ cos ωt
y = a sin θ sin ωt.
(1.104)
En Mecánica Clásica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sino
como un parámetro.
6. Restricción no holonómica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.
Figura 1.19: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha:
condición de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instantáneo.
Existe la restricción z = cte. Sea θ el ángulo que forma el vector velocidad v con
respecto a la dirección −ŷ. La condición de rodar sin deslizar se expresa como
ds = vdt = Rdϕ ⇒ v = R ˙ϕ. (1.105)
Figura 1.20: Proyección del movimiento del aro sobre el plano (x, y).
Las componentes de la velocidad v son
ẋ = v sin θ = R ˙ϕ sin θ
ẏ = −v cos θ = −R ˙ϕ cos θ.
(1.106)