Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Esto se puede aplicar a la función de energía de un sistema. Supongamos que la
energía potencial de un sistema depende tanto de las coordenadas como de las velocidades
generalizadas: V (q j , ˙q j ). Entonces L = T ( ˙q j ) − V (q j , ˙q j ), y la función de energía
correspondiente es
E(q j , q˙
j ) = ∑ j
= 2T − ∑ j
∂L
q˙
j − L = ∑ ∂q˙
j
j
∂T
q˙
j − ∑ ∂q˙
j
j
∂V
q˙
j − T + V = T + V − ∑ ∂q˙
j
j
∂V
q˙
j − [T − V ]
∂q˙
j
∂V
q˙
j . (2.65)
∂q˙
j
Si la energía potencial V es independiente de las velocidades, ∂V
∂ ˙q j
= 0; entonces la función
de energía es igual a la energía mecánica total, E(q j , q˙
j ) = T + V . Si V depende de q˙
j ,
la función de energía contiene términos adicionales a T + V .
En todo caso, la función de energía se conserva si ∂L
∂t = 0.
2.7. Potenciales dependientes de la velocidad
Existen sistemas en los cuales la energía potencial depende de las coordenadas y de
las velocidades, V (q j , q˙
j ). Por ejemplo, la fuerza total (y por tanto el potencial) de una
partícula cargada en un campo electromagnético depende de la velocidad de la partícula.
En estos sistemas también se puede definir una función de energía E(q j , q˙
j ).
Consideremos el Lagrangiano para una partícula en un potencial dependiente de la
velocidad V = V (r, ṙ), en coordenadas cartesianas,
donde
La ecuación de Lagrange para x i es
L = T − V = T (ṙ) − V (r, ṙ), (2.66)
T (ṙ) = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ẋ 2 ). (2.67)
d
dt
( ) ∂L
− ∂L = 0. (2.68)
∂x˙
i ∂x i
Sustitución de las derivadas parciales de L conduce a
(
d ∂T
− ∂V )
+ ∂V = 0,
dt ∂x˙
i ∂x˙
i ∂x i
(2.69)
( )
d ∂T
= − ∂V + d ( ) ∂V
dt ∂x˙
i ∂x i dt ∂x˙
i
(2.70)
⇒ mẍ i = − ∂V
∂x i
+ d dt
( ) ∂V
≡ F i , (2.71)
∂x˙
i
donde F i se denomina componente i de la fuerza generalizada sobre la partícula. Las
fuerzas generalizadas dependen de la velocidad.