Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Similarmente, si un sistema posee un eje de simetría rotacional, o simetría axial,
entonces su Lagrangiano no depende explícitamente de la coordenada que describe el
ángulo de rotación alrededor de ese eje. Como consecuencia, la componente del momento
angular del sistema correspondiente a ese eje, se conserva.
Ejemplos.
1. El Lagrangiano de una partícula libre es
L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). (2.5)
Las tres coordenadas cartesianas x j = {x, y, z} son cíclicas, puesto que
∂L
∂x j
= 0. (2.6)
Los momentos conjugados correspondientes son p j = ∂L , i = 1, 2, 3. Luego,
∂x˙
j
p j = ∂L = mx˙
j = cte. (2.7)
∂x˙
j
Las tres componentes p x , p y , p z del momento lineal son constantes y, por lo tanto,
el momento lineal total de la partícula se conserva. Esto es consecuencia de la
ausencia de fuerza neta (o potencial constante o cero) en el sistema.
2. Partícula sobre un cono invertido.
Vimos en el Cap. 1 que el Lagrangiano de este sistema es
L(r, ϕ, ṙ, ˙ϕ, t) = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgr cot α. (2.8)
La coordenada ϕ, que representa el ángulo de rotación alrededor del eje z, es cíclica,
∂L
∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = cte. (2.9)
El momento conjugado p ϕ asociado con la coordenada angular ϕ es constante.
Para identificar la cantidad constante p ϕ , consideremos el momento angular de la
partícula,
i j k
l = r × mv = m
x y z
∣ ẋ ẏ ż ∣ , (2.10)
donde
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ ,
(2.11)