Mecánica Clásica

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 159
Luego,
V = 1 2 [2kη2 1 + 2kη2 2 − 2kη 1 η 2 ] = 1 ∑
V ij η i η j , (4.52)
2
donde podemos identificar los los coeficientes
V 11 = 2k, V 22 = 2k, V 12 = V 21 = −k. (4.53)
La condición Ec. (4.47) para este sistema es
∣ V 11 − ω 2 T 11 V 12 − ω 2 T 12
V 21 − ω 2 T 21 V 22 − ω 2 T 22
∣ ∣∣∣
= 0 . (4.54)
i,j
Sustituyendo los coeficientes T ij y V ij , tenemos
∣ 2k − ω2 m −k
−k 2k − ω 2 m
∣ = 0. (4.55)
La ecuación característica resultante es
Luego,
(2k − ω 2 m) 2 − k 2 = 0, (4.56)
2k − ω 2 m = ±k, (4.57)
⇒ ω 2 = 2k ± k
m . (4.58)
ω 1 =
√
3k
m , ω 2 =
√
k
m . (4.59)
2. Encontrar las frecuencias para pequeñas oscilaciones de un péndulo doble.
Figura 4.5: Péndulo doble.
Las energías cinética y potencial de este sistema fueron calculadas en el Cap. 1 en
términos de las coordenadas generalizadas θ 1 y θ 2 ,
T = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ˙θ 2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ˙θ 2 2 + m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 ) , (4.60)