Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
25. Considere la transformación infinitesimal de rotación
R = r + ɛ(Φ × r)
P = p + ɛ(Φ × p) ,
donde Φ es el vector a lo largo del eje de rotación, |Φ| = φ es el ángulo de rotación
y ɛ es un parámetro infinitesimal.
a) Demuestre que esta transformación es canónica.
b) Suponga que esta transformación es generada por la función F 2 = r·P+ɛG(r, P).
Determine G.
26. Una partícula de masa m se suelta en reposo desde una altura h a lo largo de un
plano inclinado sin fricción, el cual forma un ángulo α con el suelo.
a) Encuentre la posición de la partícula sobre el plano en función del tiempo, a
partir de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
b) Encuentre el momento de la partícula en función del tiempo.
27. La energía cinética relativista de una partícula de masa m es
T = √ (cp) 2 + (mc 2 ) 2 ,
donde c es la velocidad de la luz. Considere una partícula relativista sujeta a la
fuerza gravitacional terrestre F = −mgŷ, tal que inicialmente se suelta del reposo
en y = 0. Determine la trayectoria de la partícula en función del tiempo a partir
de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
28. Encuentre la expresión de la acción correspondiente a un péndulo simple a partir
de la ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
29. a) Empleando la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi, calcule la posición
en función del tiempo para una partícula libre con masa m y energía E que se
encuentra en el origen en t = 0.
b) Encuentre la acción en función del tiempo.
30. Una partícula de masa m y energía E se mueve en el potencial unidimensional
V (q) = k/q 2 , donde k es constante.
a) Encuentre la acción S(q, t) asociada a esta partícula.
b) Encuentre la posición de la partícula en función del tiempo.
31. Una partícula sujeta a un potencial unidimensional posee el siguiente Hamiltoniano
H = p2
2m − A mtx,
donde A = cte. Si inicialmente la partícula se encuentra en x = 0 con velocidad v o ,
calcule su trayectoria.