Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos
∂L
∂ẋ j (α)
∂L
∂x j (α)
=
∂T
∂ẋ j (α) = m(α)ẋ j(α) = p j (α),
= − ∂V α
∂x j (α) = F j(α).
Sustitución en la ecuación de Lagrange para x j (α) da
dp j (α)
dt
= F j (α), (1.183)
lo que corresponde a la componente j de la 2 da ley de Newton para la partícula α.
Sumando sobre todas las partículas,
pero
N∑
α=1
P j =
dp j (α)
dt
=
N∑
F j (α) = componente j de la fuerza total (1.184)
α=1
N∑
p j (α) = componente j del momento lineal total. (1.185)
α=1
Luego,
dP j
= F j (total) (1.186)
dt
lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema. Luego,
si q j = x j (α), es decir, si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas
cartesianas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley de Newton para
el sistema.
Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teoría del movimiento; los
resultados de la formulación Lagrangiana o de la formulación Newtoniana del movimiento
de un sistema dado son los mismos; tan sólo la descripción y el método usado para obtener
esos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto físico.
Las leyes de Newton enfatizan causas externas (fuerzas) actuando sobre un cuerpo,
mientras que la formulación Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energías
cinética y potencial) asociadas con el cuerpo. En contraste con el punto de vista Newtoniano
de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mínima acción describe
éste como el resultado de un propósito de la Naturaleza.
Las ecuaciones de Lagrange son más generales que la segunda Ley de Newton; además
de sistemas mecánicos clásicos, se pueden aplicar para todo sistema donde se puede
definir un Lagrangiano, incluyendo medios contínuos, campos, Mecánica Cuántica. El
Principio de Mínima acción sugiere una conexión profunda entre la Física y la Geometría,
una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teorías físicas. Como
veremos, una ventaja de la formulación Lagrangiana es que permite descubrir simetrías
fundamentales presentes en sistemas físicos.