Mecánica Clásica

6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.231
2. El modelo de Lotka-Volterra describe la evolución de dos poblaciones, predadores
y presas, en un sistema ecológico, mediante las ecuaciones
ċ = αc − βcz = f 1 (c, z)
ż = −γz + δcz = f 2 (c, z), (6.54)
donde c representa el número de presas (por ejemplo conejos), y z corresponde al
número de sus depredadores (por ejemplo zorros). Las derivadas ċ, ż representan
la tasa de crecimiento de cada población, respectivamente. Los parámetros son: α:
tasa de nacimiento de las presas; β: tasa de presas comidas por los depredadores;
γ: tasa de muerte de los depredadores; δ: tasa de crecimiento de los depredadores
alimentándose de las presas.
Figura 6.4: Espacio de fase bidimensional (c, z) en el modelo de Lotka-Volterra para valores
dados de los parámetros α, β, γ y δ.
3. Las ecuaciones de Lorenz, propuestas originalmente como un modelo simplificado
de variables climáticas, forman un sistema dinámico no lineal, tridimensional,
ẋ = −ax + ay = f 1 (x, y, z),
ẏ = −xz + rx − y = f 2 (x, y, z), (6.55)
ż = xy − bz = f 3 (x, y, z).
El fenómeno de caos fue descubierto por primera vez en estas ecuaciones. Para
cierto rango de valores de los parámetros a, b, y r, este sistema es caótico; es decir,
presenta sensibilidad extrema ante cambios de las condiciones iniciales. En ese caso,
la trayectoria x(t) = (x, y, z) es aperiódica (no se cierra) y describe una intrincada
estructura geométrica en el espacio de fase, denominada atractor de Lorenz.