El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

Universidad de Los AndesFacultad de CienciasDepartamento de MatemáticasEl Teorema de Müntz - SzászJosé Luis Dávila AlbarranTrabajo especial de grado: Modalidad Seminario-MonografíaTutor: José Gimenez.Mérida, Octubre de 2009

A mis padres, hermanos.A Mary y a Raúl. ̌

AGRADECIMIENTOQuisiera expresar mis más sinceros agradecimientos a todas aquellas personas que hicieronposible la elaboración de esta monografía.A los profesores José Giménez, Luis Gonzáles y Diómedes Bárcenas quienes fueron losresponsables de mi formación para prepararme y salir adelante con este trabajo.Al profesor Ernesto Jaimes por su predisposición permanente e incondicional.Y muy especialmente a los profesores José Giménez (nuevamente) y Carlos Uzcátegui porel gran apoyo demostrado en la culminación de mi carrera.Finalmente agradecer a todas aquellas personas que me acompañaron y siempre estuvieronahí para apoyarme.A todos ....... gracias!!

Índice generalIntroducción 11. Preliminares 31.1. Discos abiertos y la topología en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. El espacio C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. El Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. El Teorema de Hahn-Banach y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Medidas de Borel reales y complejas 142.1. El Teorema Representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Funciones analíticas y distribución de ceros 214. El Teorema de Müntz - Szász 334.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. El Teorema de Müntz - Szász . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37i

IntroducciónUno de los resultados mejor conocidos en el análisis es el Teorema de Weierstrass el cualafirma que el conjunto de los polinomios es denso en el espacio de las funciones continuasC[0, 1] (con la topología uniforme). Este teorema fue demostrado por Karl Weierstrassen 1985. Más tarde, Marshall Stone enfocándose en algunas propiedades funcionales dela familia de los polinomios, notó que si un conjunto de funciones en C[0, 1] contaba conesas propiedades entonces este debía de ser denso en C[0, 1]. Dicho resultado es conocidocomo el teorema ó generalización de Stone - Weierstrass.Esta generalización nos permite dar numerosos ejemplos de familias densas en C[0, 1]distintas de la familia de los polinomios; sin embargo, al considerar una sucesión denúmeros reales positivos {λ n } n∈N creciente, y la familia F que surge al hacer combinacioneslineales de las funciones1, t λ 1, t λ 2, . . .,t λn , . . .dicho teorema no es lo “suficientemente general” para poder afirmar que F es denso enC[0, 1]. La pregunta que surge entonces es: ¿ Cuál es la condición necesaria y suficiente paraque F sea denso en C[0, 1]?, esta interrogante la hizo Berstein [3], que a su vez sugirió que∞∑ 1dicha condición fuese que la serie divergiese. Este no estaba equivocado, puesλn=1 nHerman Müntz [8] logró demostrarlo en el año 1914 y dos años más tarde Otto Szász [11]dió otra manera de demostrarlo, actualmente este resultado es conocido como el Teoremade Müntz - Szász.El presente trabajo tendrá como finalidad discutir y dar una demsotración de esteteorema como aparece en el texto Real and Complex Analysis de Walter Rudin [10]. Dichademostración involucra teoremas del Análisis funcional, teoría de la medida y funcionesanalíticas, por esto hemos estructurado este trabajo en 4 capítulos:1

ÍNDICE GENERAL 2En el capítulo 1, discutiremos algunos aspectos básicos sobre C y C[0, 1], además deenunciar el teorema de Stone - Weierstrass que será el punto de partida de este trabajo.Así mismo enunciamos el teorema de Hanh - Banach, para poder así presentar una caracterizaciónfundamental de los puntos clausura de un subespacio vectorial de C[0, 1] atravéz de funcionales lineales en C[0, 1] ∗ .En el capítulo 2, daremos una breve introducción sobre medidas complejas y reales.Enunciaremos el teorema de Representación de Riesz, el cual nos permitirá caracterizarlos funcionales lineales en C[0, 1] ∗ a travéz de ciertas medidas complejas.En el capítulo 3, trataremos temas y teoremas de las funciones analíticas, así comoresultados que nos permitirán construir funciones analíticas a partir de medidas complejas.En el capítulo 4, definiremos la transformadas de Fourier para funciones en L 1 (R) paradar paso a la demostración del teorema de Müntz - Szász y algunas observaciones sobreeste.

Capítulo 1PreliminaresEn este capítulo presentamos algunos aspectos básicos fundamentales sobre el conjuntode los números complejos y sobre el espacio C[0, 1]. Asumimos que el lector está familiarizadocon las principales definiciones y resultados de la teoría de funciones de unavariable compleja. El proposito fundamental del capítulo es fijar la notación y presentaralgunos resultados que nos permitan establecer el lenguaje y la motivación necesaria parael ulterior planteamiento y discusión de nuestros objetivos fundamentales.1.1. Discos abiertos y la topología en CDenotaremos el conjunto de los números complejos mediante C. Si z ∈ C, entoncespodemos expresar z en su descomposición como parte real e imaginaria mediantez = x + yi, x, y ∈ R.Como es usual, z denotará al número complejo x − yi llamado el conjugado de z. Elmódulo (o valor absoluto)de z se define como|z| := √ x 2 + y 2 = √ zz.Si r > 0 y a es un número complejo, denotaremos mediante D(a; r) al disco abiertode centro a y radio r. Es decir:D(a; r) = {z : |z − a| < r}Al disco abierto de centro 0 y radio 1 lo denotaremos simplemente como U y lollamaremos disco unitario.3

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4D( a; r ) = {z : |z − a| ≤ r} es la adherencia de D( a; r ), yD ′ (a, r) = {z : 0 < |z − a| < r} es el disco perforado con centro a y radio r.La colección de todos los discos abiertos es una base para la, asi llamada, topologíausual de C. Cualquier definición topológica (abierto cerrado, compacto, conexo, etc...)sobre C a que hagamos referencia en este trabajo será con respecto a la topología usual.Un subconjunto abierto y conexo diferente de vacío en el plano complejo se denominaregión.Como cada subconjunto abierto Ω en el plano es una unión de discos, y como todos losdiscos son conjuntos conexos, cada componente conexa de Ω es abierta. Así, todo conjuntoabierto en el plano es unión de regiones disjuntas.Una función f se dice compleja si tiene como codominio al conjunto de los númeroscomplejosSi A es un conjunto no vacío, f y g son funciones complejas definidas en A y λ ∈ Cse define las funciones f + g, λf, fg, f y |f| como1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)2. (λf)(x) = λf(x)3. (fg)(x) = f(x)g(x)4. f(x) = f(x)5. |f|(x) = |f(x)|1.2. El espacio C[0, 1]C[0, 1] denotará el conjunto de todas las funciones complejas continuas definidas en [0, 1],las operaciones (1) y (2) definidas en C[0, 1] hacen de este un espacio vectorial complejo.Recordemos que si f ∈ C[0, 1] el conjunto {|f(x)| : x ∈ [0, 1]} alcanza máximo,pudiendo así definir‖ · ‖ ∞ : C[0, 1] −→ R

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5como‖f‖ ∞ = máx{|f(x)| : x ∈ [0, 1]}Esta función define una norma sobre C[0, 1]; es decir, ‖.‖ ∞1. ‖f‖ ∞ = 0 ⇔ f ≡ 0 (f ∈ C[0, 1])2. ‖λf‖ ∞ = |λ|‖f‖ ∞ (λ ∈ C, f ∈ C[0, 1])3. ‖f + g‖ ≤ ‖f‖ ∞ + ‖g‖ ∞ (f, g ∈ C[a, b]).(llamada norma del supremo).satisface:Cuando hagamos referencia de C[0, 1] como espacio vectorial normado será con respectoa las operaciones ya definidas y a la norma del supremo.Esta norma sobre C[0, 1] induce una topología τ ∞ sobre C[0, 1], llamada topologíade la convergencia uniforme y será esta con la que consideraremos a C[0, 1] comoespacio topológicoSea X ⊆ C[0, 1] diremos que f ∈ es una combinación lineal (C.L.) de elementos en Xsi existen funciones f 1 , f 2 , . . .,f n ∈ X y escalares α 1 , α 2 , . . .,α n ∈ C tales quef ≡ α 1 f 1 + α 2 f 2 + . . . + α n f n .Definimos Span(X) = {f ∈ C[0, 1] : f es una C.L. de elementos en X}Recordemos que f 0 ∈ C[0, 1] es punto clausura de X si para cada ε > 0 existe unafunción f 1 en X tal que‖f 0 − f 1 ‖ ∞ < ε.X denotará al conjunto de todos los puntos clausura de X. Diremos que X es densoen C[0, 1] si X = C[0, 1]Lema 1.1 Si X ⊆ C[0, 1] satisface que αf +g ∈ X para cada f, g ∈ X y α ∈ C entoncesX también tiene esta propiedadPrueba.por lo tantoSea f, g ∈ X, α ∈ C\{0} y ε > 0 por definición existen f, g ∈ X tales que‖f − f 1 ‖ ∞ < ε2|α|y ‖g − g 1 ‖ ∞ < ε/2‖(αf + g) − (αf 1 + g 1 )‖ ∞ ≤ |α|‖f − f 1 ‖ ∞ + ‖g − g 1 ‖ ∞ < εcomo αf 1 + g 1 ∈ X se cumple que αf + g ∈ X

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6Definición 1.2 Si K ⊆ C, {f n } n es una sucesión de funciones complejas definidas enK diremos que la sucesión {f n } n converge uniformemente en K a una función f (y lodenotaremos por f n ⇉ f) si para cada ε > 0 existe n 0 ∈ N tal que|f n (z) − f(z)| < ε para cada z ∈ K y n ≥ n 0Teorema 1.3 (M-test de Weierstrass) Supongamos que {f n } n es una sucesión de funcionescomplejas continuas definidas en Ω ⊆ C, y que existe una sucesión {M n } n ⊆ R +tal queSi|f n (z)| ≤ M n (para cada n ∈ N y z ∈ Ω).∞∑∑M n < ∞ entonces la serie ∞ f n converge uniformemente en Ω a una funciónn=1continua fn=1Teorema 1.4 (Aproximación de Weierstrass) Para cada f ∈ C[0, 1] existe una sucesiónde polinomios {P n } n tal queP n ⇉ fEl teorema de aproximación de Weierstrass nos dice en su forma más sencilla que elconjunto de los polinomios es denso en C[0, 1]. A continuación presentaremos dos lemasque aunque su demostración es relativamente fácil, nos serán de gran utilidad más adelante.Lema 1.5 El disco unitario es homeomorfo al semiplano derecho Ω + := {z ∈ C :Re(z) > 0}Prueba.En efecto:Veamos primero que si z = x + iy ∈ D(0, 1), x, y ∈ R, entonces 1 + z1 − z ∈ Ω+ .x 2 + y 2 < 1 ⇔ (1 − x)(1 + x) − y 2 > 0⇔⇔( )(1 + x + iy)(1 − x + iy)Re> 0(1 − x) 2 + y 2Re( ) 1 + z> 01 − z

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7Ahora podemos definirf : D(0, 1) −→ Ω +comof(z) = 1 + z (z ∈ D(0, 1))1 − zI) f es inyectiva: si z 1 , z 2 ∈ D(0, 1) y f(z 1 ) = f(z 2 ) entoncesII)1 + z 11 − z 1= 1 + z 21 − z 2⇔ 1 − z 2 + z 1 − z 1 z 2 = 1 + z 2 − z 1 − z 1 z 2 ⇔ z 1 = z 2f es sobreyectiva: si z 0 = a + bi ∈ Ω + , a, b ∈ R entoncesademásfa > 0 ⇔ (a − 1) 2 + b 2 ≤ (a + 1) 2 + b 2 ⇔ z 0 − 1z 0 + 1( )z0 − 1=z 0 + 11 + z 0 − 1z 0 + 11 − z 0 − 1z 0 + 1= 2z 02 = z 0∈ D(0, 1)luego por la parte I) y II) existe f −1 : Ω + −→ D(0, 1) ademásf −1 (z) = z − 1z + 1de más este decir f y f −1 son funciones continuas.(z ∈ Ω + )Lema 1.6 Si {λ n } es una sucesión de números reales positivos tal que c := ínf{λ n : n ∈∞∑ 1∞∑[N} > 0 y = ∞, entonces 1 − |λ ]n − 1|= ∞λ n λ n + 1n=1Note que 1 − |λ n − 1|λ n + 1Prueba.n=1> 0 para cada n ∈ NDefinimos A = {n ∈ N : λ n ≤ 1} y B = N\A entonces A es finito o infinitoCaso I: A es finitoEn este caso se tiene que por ser la serieademás∞∑n=11divergente, también lo es la serie ∑ 1,λ n λn∈B n

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8∑n∈BPor lo tanto[1 − |λ ]n − 1|= ∑ 2yλ n + 1 1 + λ nn∈B∑n∈BCaso II: A es infinito[1 − |λ ]n − 1|= ∞ y asíλ n + 11< 2 para cada n ∈ Bλ n 1 + λ n∞∑n=1[1 − |λ ]n − 1|= ∞λ n + 1Como para cada n ∈ A0 < c < λ n < 2λ nse cumple que1 + λ n∑[1 − |λ ]n − 1|= ∑ 2λ n= ∞λn∈A n + 1 1 + λn∈B n∞∑[por lo tanto 1 − |λ ]n − 1|= ∞ λ n + 1n=11.3. El Teorema de Stone-WeierstrassEn esta sección mostraremos que la conclusión del Teorema de Weierstrass se puedeextender a familias de funciones que satisfacen propiedades similares a las del conjuntode los polinomios, para esto definiremos en primer lugar lo siguiente:Definición 1.7 Diremos que un conjunto R ⊆ C[0, 1] tiene la propiedad de Stone sisatisface las siguientes condiciones:1. f + g, f · g, cf, f ∈ R ∀ f, g ∈ R y c ∈ C2. Para cada par de puntos x 1 , x 2 ∈ [0, 1] existe f ∈ R tal que f(x 1 ) ≠ f(x 2 )3. Para cada x ∈ [0, 1] existe f ∈ R tal que f(x) ≠ 0Si f es una función compleja definida en [0, 1], denotaremos por X f al conjunto formadopor todas las combinaciones lineales de las funciones

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 91, f, f 2 , f 3 , . . .,f n , . . .Es claro que si f ∈ C[0, 1] es una función a valores reales inyectiva, entonces X f tiene lapropiedad de Stone.Teorema 1.8 (Stone - Weierstrass) Todo subconjunto R de C[0, 1] que satisface lapropiedad de Stone es denso en C[0, 1].Corolario 1.9 Si f ∈ C[0, 1] es una función a valores reales inyectiva, entonces X f esdenso en C[0, 1].El teorema de Stone - Weierstrass nos permite dar numerosos ejemplos de subconjuntosdensos en C[0, 1]. Sin embargo, nuestro interés esta en ciertas colecciones de polinomiosque están muy lejos de ser el conjunto de todos los polinomios en C[0, 1].Lema 1.10 Supongamos que A ⊆ N es finito, p ∈ N y k 1 , k 2 , k 3 , . . . es una enumeraciónde N/A. Definamosyentonces M y N son densos en C[0, 1].M := span{1, t k 1, t k 2, t k 3, . . .}N := span{1, t p , t 2p , t 3p , . . .}Prueba.Sea k = mín{k 1 , k 2 , k 3 , . . .} y definamos M k := span{1, t k , t 2k , . . .} Por el corolario1.9 es evidente que tanto N como M k son densos en C[0, 1], además M k ⊂ M, concluyendoasi que M también es denso en C[0, 1].Si ahora consideramos una sucesión creciente {n k } k∈N de números naturales y el subespacioX({n k } k∈N ) := Span{1, t n 1, t n 2, . . .}la pregunta que surge es ¿ Cuándo podemos asegurar que X es denso en C[0, 1]?, evidentementesi X({n k } k∈N ) posee una subcolección con la propiedad de Stone entoncesX({n k } k∈N ) sería denso, pero esta condición a parte de ser suficiente ¿ será necesaria? Larespuesta es NO, para esto, daremos un ejemplo el cual verificaremos en el capítulo 4.

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10Lema 1.11 Supongamos que p 1 , p 2 , . . . es una enumeración creciente de los número primos,entonces = ∞∞∑ 1p nn=1La divergencia de esta peculiar serie fue demostrada por primera vez en 1737 por Eulery la siguiente demostración se debe a ClarksonPrueba.∞∑ 1Supongamos que la serie converge, entonces existe k ∈ N tal quep nn=1∞∑m=k+11p m< 1 2sea Q = p 1 ·p 2 · · ·p k y definamos para cada n ∈ N a n = 1+nQ, note que ninguno de losnúmeros p 1 , p 2 , . . ., p k divide a a n y por lo tanto los factores de a n se encuentran entrelos primos p k+1 , p k+2 , . . .Ahora, si s ∈ N se cumple ques∑n=11a n≤(∞∑ ∑ ∞t=1m=k+11p n) t(1.1)pues la suma de la derecha contiene todos los términos de la suma izquierda. Como la∞∑( ) ( t 1∞∑ ∞) t∑ 1serie es convergente se tiene que la serietambién lo es y en2pt=1t=1 nm=k+1∞∑ 1consecuencia por (1.1) la serie también es convergente.an=1 nSi n ∈ N es claro que1n

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 11X({p k } k∈N ) no posee una subcolección con la propiedad de Stone y sin embargo esdenso en C[0, 1], en realidad la condición necesaria y suficiente para que X({n k } k∈N ) sea∞∑ 1densa en C[0, 1] es que = ∞, como lo veremos en el Capítulo 4.n kk=11.4. El Teorema de Hahn-Banach y consecuenciasEn esta sección X denotará a un espacio vectorial complejo con norma ‖ · ‖ y M unsubespacio vectorial de X el cual consideraremos a su vez como un espacio topológico conrespecto a la topología inducida por la norma ‖ · ‖.Diremos que una función f es un funcional lineal en M, si f es una función complejadefinida en M y además satisface que f(αx + y) = αf(x) + f(y) para cada x, y ∈ M yα ∈ C.Definición 1.12 Un funcional lineal f definido en M es acotado si lo esta el conjunto{ }|f(x)|L =‖x‖ : x ∈ M\{0} .En este caso definimos ‖f‖ M como el supremo de L y denotaremos por M ∗ al conjuntode todos los funcionales lineales definidos en M acotados.Usualmente se le conoce a M ∗ como el dual de MTeorema 1.13 Si f es un funcional lineal en el M entonces son equivalentes:(i) f es un funcional lineal acotado(ii) f es una función continua.Prueba.(i) ⇒ (ii) Sea x 0 ∈ M por ser f un funcional lineal acotado se cumple que|f(x) − f(x 0 )| = |f(x − x 0 )| ≤ ‖f‖ M ‖x − x 0 ‖para cada x ∈ Mlo cual implica que f es continua en x 0 .(ii) ⇒ (i) Si f es continua, en particular lo es en el cero, por lo tanto para ε = 1 existeδ > 0 tal que para cada x ∈ M con ‖x‖ < δ se cumple que |f(x)| < 1 (1)Mostraremos que 2 es cota superior del conjuntoδ

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12Sea x ∈ M\{0} ya quex∥‖x‖{ |f(x)|‖x‖ : x ∈ M\{0} }δ2∥ = δ ∣ ∣∣∣2 < δ se cumple por (1) que f( x‖x‖)∣δ ∣∣∣< 12∴δ2‖x‖ |f(x)| < 1∴|f(x)|‖x‖< 2 δUno de los teoremas más conocido y básico en el Análisis funcional es el de Hahn -Banach, el cual nos será de gran utilidad más adelante y sólo lo enunciaremos.Teorema 1.14 (Hahn - Banach) Si f ∈ M ∗ entonces existe F ∈ X ∗ tal que F | M ≡ fy ‖f‖ M = ‖F ‖ XTeorema 1.15 Si M es un subespacio vectorial de X y x 0 ∈ X, entonces,x 0 ∈ M si y sólo si para cada f ∈ X ∗ que se anule en todo M se cumple que f(x 0 ) = 0Prueba.(⇒) Si x 0 ∈ M, existe una sucesión {x n } n∈N ⊆ M tal que ‖x n − x 0 ‖ −→ 0. Sea f ∈ X ∗una función que se anule en todo M, por el teorema 3.1 f es continua en x 0 , por lo tantof(x n ) −→ f(x 0 ) pero f(x n ) = 0 para cada n ∈ N∴ f(x 0 ) = 0(⇐) Supongamos que x 0 ∉ M, en tal caso existiría δ > 0 tal que‖x − x 0 ‖ > δ para cada x ∈ M (1.2)Sea L = {x + λx 0 : x ∈ M y λ ∈ C}, claramente L es un subespacio vectorial de X quecontiene a M, definamosg : L −→ Ccomog(x + λx 0 ) = λ (x ∈ M, λ ∈ C)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 13Note que si x ∈ M y λ ∈ C entoncesx + λx 0 = 0 ⇐⇒ x = 0 y λ = 0y esto nos permite asegurar que g esta bien definido y que además es un funcional linealen L además si λ ≠ 0|g(x + λx 0 )|‖x + λx 0 ‖ = | − λ|‖x + λx 0 ‖ = 1∥∥− x λ − x 0∥por (1.2)1∥∥− x λ − x 0∥> 1 δ∴|g(x + λx 0 )|‖x + λx 0 ‖< 1 δ∴ g ∈ L ∗ , luego por el teorema de Hahn - Banach, existe G ∈ X ∗ tal que G| L ≡ g comopara cada x ∈ M g(x) = 0 se concluye que G| M ≡ 0Sin embargo, G(x 0 ) = G(0 + 1x 0 ) = 1, lo cual contradice nuestra hipótesis.Lema 1.16 Si M es un subespacio vectorial de X entonces M también lo esPrueba. Sean x, y ∈ M y λ ∈ C, para mostrar que λx + y ∈ M, bastaría mostrar quetodo funcional lineal f en M ∗ que se anule en M se tiene que anular en λx + y.Sea f ∈ M ∗ tal que f| M ≡ 0 como x, y ∈ M se tiene que f(x) = f(y) = 0∴ f(λx + y) = λf(x) + f(y) = 0 Vale la pena destacar que aunque el Teorema de Hanh - Banach depende del Axiomade Elección, el lema anterior no depende de esté pués se puede demostrar de una formasimilar a lo hecho en el lema 1.1.

Capítulo 2Medidas de Borel reales y complejasEn este capítulo daremos algunas definiciones básicas para poder comprender los enunciadosdel Teorema de Representación de Riesz y el Teorema de Fubini.Definición 2.1 Una colección L de subconjuntos de un conjunto Y se llama σ−álgebraen Y si L tiene las siguientes propiedades:1. Y ∈ L2. Si A ∈ L, entonces Y \A ∈ L3. Si {A n } n∈N es una colección de elementos en L, entonces∞⋃A n ∈ Ln=1Teorema 2.2 Si F es una colección de subconjuntos de Y existe una σ−álgebra mínimaL en Y que contiene a FPrueba. Sea Ω = {L : L es una σ − álgebra en Y que contiene a F}, Ω es no vacíopues la colección de todos los subconjunto de Y es una σ−álgebra en Y que contiene aF, definamosobservemos queL ∗ = ⋂ L∈ΩL,a) Y ∈ L para todo L ∈ Ω, por lo tanto Y ∈ L ∗14

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 15b) Si A ∈ L ∗ entonces Y \A ∈ L para cada L ∈ Ω y así Y \A ∈ L ∗c) Si A =∞⋃A n y A n ∈ L ∗ para cada n ∈ N entonces A ∈ L, para cada L ∈ Ω, por lon=1tanto A ∈ L ∗d) F ⊆ L para cada L ∈ Ω, y así F ⊆ L ∗e) Si L es un σ−álgebra que contiene a F entonces L ∈ Ω y así L ∗ ⊆ Lpor a), b), c) y d) se concluye que L ∗ es una σ−álgebra en Y que contiene a F y por e)se tiene que L ∗ es la menor σ−álgebra en Y con esta propiedad.En lo que sigue Y denotará un conjunto no vacío y τ una topología sobre Y.Definición 2.3 Denotaremos por Σ τ a la menor σ−álgebra en Y que contiene a τ, a Σ τla llamaremos σ−álgebra de Borel en Y y a sus elementos conjuntos de Borel en Y.Definición 2.4 Si f es una función compleja definida en Y diremos que(a) f es una función medible Borel si para todo z 0 ∈ C y ε > 0 se cumple quef −1 ({z ∈ C : |z − z 0 | ≤ ε}) ∈ Σ τ(b) Si f(Y ) es finito, diremos que f es una función simple además si f(Y ) ⊆ R sedefinef + , f − : Y −→ [0, +∞)comof + (x) = máx{f(x), 0} y f −1 (x) = − mín{f(x), 0} (x ∈ Y )Teorema 2.5 Si f, g son funciones medibles Borel y f = u+iv donde u y v son funcionesreales, entonces:(a) Si f(Y ) ⊆ R entonces f + , f − son medibles Borel(b) u, v, f + g, f · g y |f| son medibles Borel

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 16Definición 2.6 Una medida de Borel positiva sobre Y es una función µ definidaen Σ τ con recorrido en [0, +∞] con la propiedad de aditividad numerable, es decir que si{A n } n∈N es una colección numerable de conjuntos disjuntos en Σ τ entonces( ∞)⋃∞∑µ A n = µ(A n )n=1Si µ es una función definida en Σ τ con recorrido en C y además por la propiedad deaditividad numerable diremos que µ es una medida de Borel complejaUna medida de borel positiva µ sobre Y es de medida de σ−finita si existe una sucesiónde conjuntos {E n } n en Σ τ tal que Y = ∪E n y µ(E n ) < ∞ para cada n ∈ N.n=1Si f es una función medible Borel simple donde α 1 , α 2 , . . ., α n son los distintos valoresque toma la función en Y y µ es una medida de Borel positiva en Y definimos∫Efdµ =n∑α i µ(E ∩ A i ),i=1donde E ∈ Σ τ y A i = {x ∈ Y : f(x) = α i } para cada i = 1, 2, 3, . . ., n del mismo modo,si f tiene recorrido en [0, +∞) se define∫E{∫fdµ = sup sdµ : s es una función medible Borel simple y 0 ≤ s(x) ≤ f(x)E}∀ x ∈ YDefinición 2.7 Si µ es una medida de borel ∫ positiva, definimos ̷L 1 (µ) como el conjuntode todas las funciones medibles borel tal que |f|dµ < ∞ del mismo modo si f = u+iv,donde u y v son funciones reales, f ∈ L 1 (µ) y E ∈ Σ τ definimos∫ ∫ ∫ ∫ ∫fdµ = u + dµ − u − dµ + i v + dµ − iEEEYEEv − dµTeorema 2.8 [Teorema de la Convergencia dominada de Lebesgue]Supongamos que {f n } es una sucesión de funciones medibles complejas sobre Y talesque existef(x) = límn→∞f n (x)para todo x ∈ Y

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 17si existe una función g ∈ L 1 (µ) tal queentonces f ∈ L 1 (µ)y|f n (x)| ≤ g(x) (n = 1, 2, 3, . . .; x ∈ Y )∫lím |f n − f|dµ = 0n→∞Y∫Yfdµ = lím f n dµn→∞∫YDefinición 2.9 Si µ es una medida de borel compleja, se define |µ| : Σ τ −→ [0, +∞]mediante{∑ ∞|µ|(E) = sup |µ(E n )| : E =i=1}∞⋃E n donde {E n } n ⊆ Σ τ es una colección disjunta dos a dosn=1|µ| recibe el nombre de variación total de µ.Teorema 2.10 Si µ es una medida de borel compleja sobre Y, entonces la variación total|µ| de µ es una medida de borel positiva sobre Y, además |µ|(Y ) < ∞Teorema 2.11 Si µ es una medida de borel compleja existe una función medible borelsobre Y, h tal que |h(x)| = 1 para todo x ∈ Y y∫µ(E) = hd|µ| para toda E ∈ Σ τETeniendo sentido definir la integral de una función medible borel f sobre un subconjuntoE ∈ Σ τ con respecto a la medida µ como:∫ ∫fdµ = fhd|µ|ETeorema 2.12 Si µ es una medida de borel positiva sobre Y, g ∈ L 1 (µ) y∫λ(E) = gdµ (E ∈ Σ τ )EE

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 18se tiene que λ es una medida de borel compleja sobre Y .Además,∫ ∫fdλ = fgdµ E ∈ Σ τ y f medible borel.EE2.1. El Teorema Representación de RieszSi µ es una medida de borel compleja sobre [0, 1], la función φ : C[0, 1] −→ C definidapor∫φ(f) = fdµ (f ∈ C[0, 1]) (2.1)[0,1]determina un funcional lineal que además es acotado por |µ|([0, 1]). Lo que Riesz demostrófue que los funcionales lineales en C[0, 1] ∗ son necesisariamente de esta forma.Ahora estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Representación de Riesz.Teorema 2.13 (Representación de Riesz) A cada funcional lineal acotado φ sobreC[0, 1] le corresponde una medida de borel compleja µ sobre [0, 1] tal que∫φ(f) = fdµ (f ∈ C[0, 1])[0,1]2.2. El Teorema de FubiniSean X, Y conjuntos no vacío y f una función compleja definida en X × Y, para cadax ∈ X e y ∈ Y definimoscomof x : Y −→ C y f y : X −→ Cf x (a) = f(x, a) f y (b) = f(b, y) (a ∈ Y, b ∈ X).El Teorema de Fubini involucra definiciones que no están dentro de nuestro interés para larealización de este trabajo, es por esto que daremos una versión más débil de este teorema.

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 19Teorema 2.14 (Fubini) Sean X, Y espacios topológicos y µ, λ medidas de borel realesy de medida σ−finita sobre X e Y respectivamente, sea f una función compleja definidaen X × Y tal que para cada x ∈ X, y ∈ Ydefinamos|f| x , f x ∈ L 1 (λ) y f y ∈ L 1 (µ)∫ϕ(x) =EntoncesY∫f x dλ, ϕ ∗ (x) =Y∫|f| x dλ, ψ(y) = f y dµ (x ∈ X, y ∈ Y )X1. ϕ ∗ es una función medible borel en X∫2. Si ϕ ∗ dµ < ∞ se cumple además que ϕ ∈ L 1 (µ),X∫ ∫ϕdµ = ψdλX Yψ ∈ L 1 (λ) yEjemplo 2.15 Sea m la medida de Lebesgue sobre [0, 1], definamos f : [0, 1]×[0, 1] −→ Ccomo⎧⎨ e x2 si y < x ≤ 1f(x, y) =⎩0 si 0 ≤ y ≤ yen este casoϕ(x) =∫f(x, y)dm(y) =∫ x[0,1]0e x2 dy, ψ(y) =∫[0,1]f(x, y)dm(x)= ϕ ∗ (x) =∫ 1ye x2 dxcomo f es una función acotada, entonces ϕ ∗ ∈ L 1 (m). El Teorema de Fubini nos garantizaque ϕ y ψ son funciones medibles Lebesgue, (pero esto no es de sorprender pues el TeoremaFundamental del Cálculo podemos afirmar que ϕ y ψ son continuas), además se cumpleque

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 20∴∫ψdm =[0,1]∫ψdm =[0,1]===∫[0,1]∫ 10∫ 10∫ 1[0ϕdm{∫}f(x, y)dm(y) dx[0,1]{∫ 10xe x2 dx] 1e x220}e x2 dy dx= e − 12En el cálculo surgía un problema al tratar de hallar el valor de∫ 1∫ 10ye x2 dxdy sin cambiarel orden de integración, pues la función e x2 no posee primitiva a través de funcioneselementales.

Capítulo 3Funciones analíticas y distribución de cerosEn el presente capítulo Ω denotará un subconjunto abierto del plano complejo y U alconjunto {z ∈ C : |z| < 1}Definición 3.1 Diremos que una función compleja f definida en Ω es diferenciable enz 0 ∈ Ω sif ′ f(z) − f(z 0 )(z 0 ) = límexiste,z→z0 z − z 0Del mismo modo si se cumple que f es diferenciable en todo punto de Ω diremos que fes analítica en Ω y denotaremos por H(Ω) al conjunto de todos las funciones complejasdefinidas en Ω que sean analíticas en Ω.Definición 3.2 Una curva en C es una función compleja γ definida en un intervalocompacto [a, b] ⊆ R la cual es continua, en donde denotaremos por γ ∗ al conjunto detodos los puntos γ(t) con a ≤ t ≤ b.Un camino es una curva en C continuamente diferenciable a trozos, es decir existenuna cantidad finita de puntos a = δ 0 < δ 1 < δ 2 < . . . < δ n = b tales que γ| [δi−1 ,δ i ]esdiferenciable y con derivada continua (i = 1, 2, . . ., n).Si γ es un camino tal que γ(a) = γ(b) diremos que γ es un camino cerrado.Dos de los resultados que nos será bastante útil es el de la fǿrmula integral de Cauchyy el de teorema de Morera, para esto definiremos lo siguiente:Definición 3.3 Si γ es una curva en C definida en [a, b] ⊆ R y f es una función complejacontinua en γ ∗ , la integral de f sobre γ se define como21

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 22∫f(z)dz =∫ bγaf(γ(t))γ ′ (t)dtEjemplo 3.4 Definamos f : C\{0} −→ C y γ : [0, 2π] −→ C\{0} comof(z) = 1 z(z ∈ C\{0}),γ(t) = e it = cost + i sen tCalculemos la integral de f sobre γ∫γf(z)dz =∫ 2π0f(γ(t))γ ′ (t)dt =∫ 2π0(t ∈ [0, 2π])(− sen t + i cost)dtcost + i sen t===∫ 2π0∫ 2π0∫ 2π0(− sen t + i cost)(cos t − i sen t)dt(−sent cos t + i sen 2 t + i cos 2 t + sen t cost)dt∫ 2π0dt + i dt = 0 + i2π = i2π.0Teorema 3.5 Sea γ un camino cerrado, sea k = C\γ ∗ y definimosInd γ (z) = 1 ∫dζ(z ∈ K)2πi ζ − zγentonces Ind γ es una función definida sobre K a valores enteros que es constante en cadacomponente de K y que es 0 en la componente no acotada de KEjemplo 3.6 Si γ es la circunferencia orientada positivamente con centro en a ∈ C yradio r, se tendría que las componente de C\γ ∗ son D(a, r) y C\D(a, r) siendo está últimala componente no acotada, lo cual por el teorema anterior se tendría queInd γ (z) = 0 si |z − a| < r

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 23Ahora para saber el valor que toma la función Ind γ en la componente D(a, r) bastacon saber que valor toma en apor lo tantoInd γ (a) = 1 ∫2πi γdζζ − a = 1 ∫ 2π2πi 0⎧⎨ 1 si |z − a| < rInd γ (z) =⎩0 si |z − a| > rie it dte it + a − a = i ∫ 2πdt = 12πi 0A continuación y con el objeto de demarcar completamente el alcance de nuestraexposición damos una lista de algunos de los principales resultados de la teoría de funcionesde una variable compleja.[Teorema Fundamental del Cálculo en C] Supongamos que F ∈ H(Ω) y queF ′ es continua en Ω. Entonces∫F ′ (z)dz = 0para todo camino cerrado γ en Ω.γ[Teorema de Cauchy] 1 Sean: Ω ⊂ C, un conjunto abierto y convexo, p ∈ Ω, funa función continua en Ω, tal que f ∈ H(Ω − {p}). Entonces existe F ∈ H(Ω)tal que F ′ = f. Por lo tanto ∫f(z) dz = 0para todo camino cerrado γ ⊂ Ω.γ[Fórmula Integral de Cauchy] Supongamos que γ es un camino cerrado en unconjunto abierto y convexo Ω, y f ∈ H(Ω). Si z ∈ Ω y z /∈ γ([a, b]), entonces∫1 f(ζ)f(z) ·Ind γ (z) : =dζ. (3.1)2πi ζ − z1 Esta versión del clásico teorema es suficiente para nuestros propositos.γ///.///.///.

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 24[Teorema del Valor Medio de Gauss] El caso en que Ind γ (a) = 1 es de particularinterés: Si f ∈ H(D(a, r)), entoncesf(a) = 12π∫ 2π0f(a + re iθ ) dθ.[Analiticidad] Si Ω ⊂ C es abierto, entonces toda f ∈ H(Ω) puede representarsemediante series de potencias en Ω ; precisando: Si a ∈ Ω entonces existe r > 0 talque∞∑f(z) = c n (z − a) n , ∀ z ∈ D(a, r) ⊂ Ω, ;n=0en particular, toda funcón f ∈H(Ω) es infinitamente diferenciable.Reciprocamente, si f puede representarse mediante series de potencias en Ω,entonces f ∈ H(Ω) y f ′ también se representa mediante series de potencias enΩ.De hecho sientoncesf k (z) =f(z) =∞∑c n (z − a) n ,n=0z ∈ D(a, r),///.∞∑n(n − 1)...(n − k + 1) c n (z − a) n−k , z ∈ D(a, r). (3.2)n=kEn consecuencia, (1.1) implica quek! c k = f k (a) (k = 0, 1, 2, ...),de modo que para cada a ∈ Ω existe una única sucesión {c n } para la que se verifica(1.1).[Ceros de Funciones Analíticas y Unicidad ] Supongamos que Ω es una región,f ∈ H(Ω), y pongamosZ(f) := {a ∈ Ω : f(a) = 0}.///.

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 25Entonces, o bien Z(f) = Ω, o Z(f) no tiene puntos límites en Ω. Si Z(f) ≠ Ω,entonces a cada a ∈ Z(f) le corresponde un único entero positivo m = m(a) tal quef(z) = (z − a) m g(z)(z ∈ Ω),donde g ∈ H(Ω) y g(a) ≠ 0; además, Z(f) es a lo sumo numerable. Comoconsecuencia, se tiene el siguiente teorema de unicidad para funciones holomorfas:[Teorema de Unicidad] Si f, g son funciones holomorfas en una región Ω y sif(z) = g(z) para todo z de algún conjunto que posea un punto límite en Ω, entoncesf(z) = g(z) para todo z ∈ Ω.[Versión Cuadrática del TVM]Si f(z) = ∑ ∞n=0 c n(z − a) n , z ∈ D(a; r); y si 0 < r < R, entonces∞∑n=o|c n | 2 r 2n = 1 ∫ π2π −π///.|f(a + re iθ )| 2 dθ. (3.3)[Teorema de Morera] Si f es una función continua en un dominio Ω y∫f(z)dz = 0γ///.para todo contorno cerrado γ en Ω, entonces f ∈ H(D).///.[Teorema de Liouville] Supongamos que f ∈ H(C) y que existen constantesreales A, B, R ∈ (0, ∞) y N ∈ N ∪ {0}, tales que|f(z)| ≤ A|z| N + B para todo z tal que |z| ≥ R.Entonces f es un polinomio de grado menor o igual que N.///.

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 26En el estudio de las funciones analíticas en un conjunto abierto Ω, un tópico de granimportancia es el de la distribución de los ceros. El Teorema de Unicidad, mencionadoarriba, afirma que los ceros de una función analítica en una región Ω no pueden acumularseen Ω a menos que la función sea identicamente igual a cero. Otro resultado similar a esteúltimo (y el cual no se deriva del mismo) es el siguiente:Teorema 3.7 Si f ∈ H(U) tal que f es acotada y α 1 , α 2 , . . . son ceros de f en U y si∞∑además (1 − |α n |) = ∞, entonces f ≡ 0n=1Definición 3.8 Supongamos que {U n } n es una sucesión de números complejos, pongamosP n := U 1 · U 2 · U 3 · · ·U n (n = 1, 2, . . .)y supongamos que existe P = límn→∞P n . Entonces escribimosP =∞∏U n (3.4)n=1Los P n son los productos parciales del producto infinito (3.4).El teorema que a continuación se presenta nos va a permitir más adelante construirfunciones analítica en un conjunto abierto Ω con ceros en puntos preescritos en Ω.Teorema 3.9 Supongamos que f n ∈ H(Ω) para n = 1, 2, 3, . . ., que ninguna f n es identicamente0 en ninguna componente de Ω, y que∞∑|1 − f n (z)|n=1converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. Entonces se puede definirf : Ω −→ Ccomof(z) =∞∏f n (z) (z ∈ Ω)n=1y se cumple que f ∈ H(Ω) además, si z 0 ∈ Ω entonces f(z 0 ) = 0, si y sólo si f n (z 0 ) = 0para algún n ∈ N

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 27Hasta los momentos hemos definido conceptos y enunciado teoremas (a los que porobvias razones de exposicion y espacio le hemos omitido su demostración) los cuales sonconocidos en distintos ramas de la matemática y que nos servirán para demostrar elteorema de Muntz - Szasz. Resulta muy gratificante obtener y demostrar resultados, coninteres propio, que se derivan de aquellos teoremas “básicos”, para comenzar veamos comoejemplo el siguiente resultado.Teorema 3.10 Sea µ una medida de borel compleja sobre un espacio X, Ω un conjuntoabierto de C y ϕ una función compleja definida sobre Ω × X tal que1. ϕ es acotada;2. ϕ∣ es una función medible para cada z ∈ Ω;{z}×X3. ϕ∣ ∈ H(Ω) para cada t ∈ XΩ×{z}∫Si definimos f : Ω −→ C como f(z) = ϕ(z, t)dµ(t)X(z ∈ Ω), entonces f ∈ H(Ω).Prueba.Para demostrar que f ∈ H(Ω), basta con ver que f satisface las hipótesis del Teorema deMorera.I) f es continua en ΩSea z 0 ∈ Ω y ε > 0, sin pérdida de generalidad supongamos que µ es una medida nonula, y que D(z 0 , ε) Ω, tomemos δ = mín{ε/2,ε 22M|µ|(X)}donde M es una cota enR + de la función ϕ.Veamos que f(D(z 0 , δ)) ⊆ D(f(z 0 ), ε)Si z ∈ D(z 0 , δ)\{z 0 } y γ es una circunferencia orientada positivamente con centro z 0 yradio δ.Por la formula de Cauchy se tiene que:para cada t ∈ XLuegoϕ(z, t) = 12πi∫γϕ(ξ, t)ξ − z dξ y ϕ(z 0, t) 12πi∫γϕ(ξ, t)ξ − z 0dξ

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 28PeroPor lo tanto,∣ f(z) − f(z 0 ) ∣∣∣∣=z − z 0∫∣γ∫∣X= 12π[∫ ( ) ] ∣1 ϕ(ξ, t) ϕ(ξ, t) dµ(t) ∣∣∣− dξ2πi γ ξ − z ξ − z 0 z − z 0∫∣X≤ 1 ∫2π X(∫∫∣∣ ∫ϕ(ξ, t) ∣∣∣(ξ − z)(ξ − z 0 ) dξ ≤ Mγ≤γM εγ( ϕ(ξ, t)ξ − z) ) ∣ϕ(ξ, t) dµ(t) ∣∣∣− dξξ − z 0 z − z 0ϕ(ξ, t)(ξ − z)(ξ − z 0 ) dξ ∣ ∣∣∣d|µ|(t)dξ|ξ − z||ξ − z 0 | = M ε∫1dξ = 4πεε/2 γ ε M = 4π 2 ε M∣ f(z) − f(z 0 ) ∣∣∣∣≤ 1 ∫4πMd|µ|(t) = 2 z − z 0 ε/2 ε X ε |µ|(X)M∫γdξ|ξ − z|y así|f(z) − f(z 0 )| ≤ 2 ε |µ|(X)M|z − z 0| < ε∴ f(z) ∈ D(f(z 0 ), ε)II) Ahora si ∆ ⊆ Ω es un triángulo cerrado, entonces∫∂∆∫f(z)dz =∂∆(∫X)∫ (∫ )Teorema de Fubiniϕ(z, t)dµ(t) dz = ϕ(z, t)dz dµ(t)X ∂∆como ϕ∣ ∈ H(Ω) para cada t ∈ Ω, entonces ∫ϕ(z, t)dz = 0 para cada t ∈ ΩΩ×{t}Luego∫∂∆∫f(z)dz =X∂∆0dµ(t) = 0

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 29Sea Ω + = {z ∈ C : Re(z) > 0} y definamos ϕ : Ω + × [0, 1] −→ C como⎧⎨ e ln(t)·z si t > 0ϕ(z, t) = t z =(z, t) ∈ Ω + × [0, 1]⎩0 si t = 0note que para cada t ∈ [0, 1] la función ϕ| Ω×{t}es analítica en Ω + y fijado z ∈ Ω + lafunción Ω| z×[0,1]es continua en [0, 1], además si (z, t) ∈ Ω + × (0, 1] entonces|ϕ(z, t)| ≤ |e z ln(t) | = |e Re(z)ln t e Imz ln ti | = |e Re(z) lnt | = t Re(z) ≤ 1∴ ϕ es una función acotada en Ω + × [0, 1]Así, si µ es una medida de borel compleja en [0, 1], podemos afirmar, en virtud del teorema3.12, que la funciónf : Ω + −→ C∫f(z) :=[0,1]definida comot z dµ(t) (z ∈ Ω + ) es analítica en Ω +Lema 3.11 ∫ Si µ es una medida de borel compleja definida en [0, 1] entonces la funciónf(z) = t z dµ(t) (z ∈ Ω + ) es analítica en Ω +[0,1]Hemos enunciado resultados sobre la distribución de los ceros de una función analíticapero ¿ Qué tiene que ver esto con el teorema de Muntz - Szasz? para responder estapregunta comenzaremos por demostrar el siguiente teorema:Teorema 3.12 Si Ω ∗ = {z ∈ C : Re(z) > −2}, y {λ n } es una sucesión de números∞∑ 1reales positivos tal que < ∞, entonces existe una función f ∗ ∈ H(Ω ∗ ) acotada enλn=1 nel conjunto Ω 0 = {z ∈ C : Re(z) ≥ −1} y que se anula sólo en los puntos 0, λ 1 , λ 2 , . . .Prueba.Para cada n ∈ N definamosf n : Ω ∗ −→ Cf n (z) =λ n − z2 + λ n + zcomo(z ∈ Ω ∗ ),

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 30es claro que f n ∈ H(Ω ∗ ) pues es cociente de funciones analítica en Ω ∗ y 2 + λ n + z no seanula en Ω ∗ .∞∑Sea K un subconjunto compacto de Ω ∗ , veamos que la serie |1 − f n (z)| convergeuniformemente en KComo K es compacto existe M > 0 tal quen=1además 1 λ n−→ 0 (ya queM ≥ |2 + 2z| + |2 + z| ∀z ∈ K∞∑ 1< ∞) y en consecuencia λ n → ∞, sea n 0 ∈ N tal queλ nn=1λ n ≥ 2M ∀ n ≥ n 0entonces se verifica las siguientes desigualdades para cada z ∈ K y n ≥ n 01. |2 + 2z| ≤ M2. 0 < λ n − M ≤ |2 + λ n + z|3.Mλ n − M ≤ 2M λ npor lo tanto|2z + 2||1 − f n (z)| =|2 + λ n + z| ≤ Mλ n − M ≤ 2M λ n∞∑ 2Mpara cada n ≥ n 0 y z ∈ K, como la serie converge se tiene por el M−Test deλn=n n 0∞∑∞∑Weierstrass que|1−f n (z)|n=n 0|1−f n (z)| converge uniformemente en K, por lo tantoconverge uniformemente en KAhora aplicando el teorema 3.12 podemos definirf ∗ : Ω ∗ −→ C comon=1f ∗ (z) =z ∏ ∞λ n − z(2 + z) 3 2 + λ n + zn=1(z ∈ Ω ∗ )

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 31y además afirmar que f ∗ ∈ H(Ω ∗ ), por otra parte si z 0 = a + bi con a, b ∈ R, a ≥ −1entonces para cada n ∈ N∣ λ n − z 0 ∣∣∣∣≤ 1 ⇔ (λ n − a) 2 + b 2 ≤ (2 + λ n + a) 2 + b 22 + λ n + z 0⇔⇔λ n 2 − 2λ n ≤ 4 + 4λ n + λ 2 n + 4a + 2λ n a0 ≤ 4 + 6λ n + 4a + 2λ n a⇔ 0 ≤ 4(a + 1) + 2λ n (a + 3)∞∏∴f∣ n (z 0 )∣ = ∏ ∞|f n (z 0 )| ≤ 1n=1 n=1∣ de igual forma se prueba quez 0 ∣∣∣∣ ≤ 1 concluyendo, así que |f ∗ (z(2 + z 0 ) 3 0 )| ≤ 1, otraconsecuencia del teorema 3.12 es que f ∗ se anula sólo en los puntos 0, λ 1 , λ 2 , . . . Más adelante, veremos como se relaciona esta función con un funcional lineal enC[0, 1] ∗ .Lema 3.13 Si f ∈ H(Ω + ) es acotada y∞∑n=1números reales positivos en donde se anula f y ínf{λ nidenticamente igual a cero en Ω +1λ n= ∞ donde {λ n } n es una sucesión de: n ∈ N} > 0, entonces f esPrueba.Sea g : U −→ C definida por( ) 1 + zg(z) = f1 − zpor ser la correspondencia(z ∈ U)z −→ 1 + z(3.5)1 − zuna biyección entre U y Ω + (ver lema 1.5) se cumple que f ≡ 0 si y sólo si g ≡ 0 ahorabien, ya que la correspondencia (3.5) determina una función analítica en U se tiene que∞∑ 1g ∈ H(U) además, si = ∞ por el lema 1.6λ nn=1

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 32∞∑1 − |α n | = ∞n=1donde α n = λ n − 1(n ∈ N) además g(α n ) = 0 para cada n ∈ N, luego por el teoremaλ n + 13.9 se cumple que g ≡ 0∴ f ≡ 0

Capítulo 4El Teorema de Müntz - Szász4.1. Transformada de FourierEn esta sección utilizaremos la letra m para representar a la medida de Lebesgue en Ry denotaremos por L 1 al conjunto de las funciones complejas f, definidas en R y mediblesLebesgue tales que∫|f|dm es finita.Definición 4.1 Si f ∈ L 1 se define ̂f : R −→ C comôf(t) = 1 ∫f(x)e −ixt dm(x)2πA la función ̂f se le llama transformada de Fourier de fRR(t ∈ R).El teorema que nos será de gran utilidad en este trabajo es el que afirma que ̂f escontinua y acotada.Teorema 4.2 Si f ∈ L 1 , entonces ̂f es continua en todo R y además es acotada.Prueba. Sea t ∈ R. Para probar la continuidad en t, supongamos que {t n } n ⊆ R esuna sucesión que converge a t y veamos que ̂f(t n ) −→ ̂f(t) definamos para cada n ∈ N lafunción f n : R −→ C como f n (x) = f(x)(e itnx − e itx ) (t ∈ R) entonces para cada x ∈ Rf n (x) −→ 033

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 34además|f n (x)| ≤ 2|f(x)| ∀x ∈ R y 2f ∈ L 1luego por el teorema de la convergencia dominada∫ ∫f n (x)dm −→∴∫R|f(x)(e itnx − e itx )|dm −→ 0∫| ̂f n (t n ) − ̂f(t)| =∣R≤∫RRRodm∫f(x)e itnx dm −R|f(x)||e itnx − e itx |dm∴ | ̂f n (t n ) − ̂f(t)| −→ 0 y así ̂f es continua en tPor otra parte,∫∫| ̂f(t)| =∣ f(x)e itx dm(x)∣ ≤lo que muestra que ̂f es acotada en R.R=∫RRf(x)e itx dm∣|f(x)e itx |dm(x)|f(x)|dm(x) < ∞Teorema 4.3 Sea f ∗ como en el teorema 3.12, existe una medida de borel compleja µ 0sobre [0, 1] tal que∫f ∗ (z) = t z dµ 0 (t) (z ∈ Ω + )[0,1]Prueba. f ∗ (z) = h(z)(z + 2) 2 (z ∈ Ω ∗ ) donde h(z) = z1 + z∞∏n=1λ n − z2 + λ n + zsea z ∈ Ω + y R > |z + 1| + 1, como f ∗ ∈ H(Ω ∗ ) por la fórmula de Cauchy (Teorema 3.7)podemos afirmar quef ∗ (z) = 1 [∫f ∗ ∫ ](ζ)2πi l Rζ − z dζ + f ∗ (ζ)C Rζ − z dζ (4.1)

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 35donde l R y C R son las curvasC Rl R (s) := −1 − is(s ∈ [−R, R])l Ṟ1 R − 1C R (t) := Re it − 1(t ∈ [−π, π])Ahora si t ∈ [−π, π] entoncesf ∗ (C R (t))iRe it∣ Re it − 1 − z ∣ = Rf ∗ (C R (t))∣(Re it + 1) 2 (Re it − 1 − z) ∣≤R(R − 1) 2 (R − |z + 1|) ≤ R(R − 1) 2por lo tanto∫ ∣ f ∗ ∫(ζ) ∣∣∣ π∣C Rζ − z dζ R 2πR≤−π (R − 1) 2dt =(R − 1) 2∫f ∗ (ζ)∴ lím = 0 de este hecho y por (4.1) se cumple queR→∞C Rζ − z

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 36f ∗ (z) =límR→∞∫1 f ∗ (ζ)2πi l Rζ − z dζPor otra parte, para cada s ∈ R= 1 ∫ R2πi límR→∞−Rf ∗ (−1 − si)(−i)ds−1 − s − z= 1 ∫ R2π lím f ∗ .(−1 + si)R→∞−R 1 − si + z ds= 1 ∫ ∞f ∗ (−1 + si)2π −∞ 1 − si + z dsdefinamos∫ 10t z−si dt =∴ f ∗ (z) =Teo. de Fubini=[ tz−si+1 1=z − is + 1]0∫ ∞−∞∫ 10{∫ 101z − is + 1}t z−is f ∗ (−1 + si)2π(1 − si + z) dt ds{ ∫ 1 ∞}t z f ∗ (−1 + is)e −isln t ds dt2π −∞g : R −→ Ccomopor tantog(s) = f ∗ (−1 + is) (s ∈ R)∫ ∞|g(s)| =|g(−1 + is)||(is + 1) 2 |≤1|is + 1| ≤ 12 s 2 + 11como−∞ s 2 + 1 ds < ∞, se tiene que g ∈ L1 y por el teorema 4.2 ĝ es acotada, así lafunción P(t) = ĝ(log t) (t ∈ (0, +∞)) (donde ĝ es la transformada de Fourier de g) escontinua y acotada, definamos

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 37∫µ(E) =EPdtE ∈ Σ t(0,1]por el teorema 2.12 µ es una medida de borel compleja en (0, 1] que claramente la podemosextender a una medida compleja µ 0 en [0, 1], obteniendo finalmente quef ∗ (z) =∫ 10t z dµ 0 (t)4.2. El Teorema de Müntz - SzászEn este capítulo daremos una de las demostraciones del Teorema de Muntz - Szász. Asaber, la que se expone en el famoso texto de Walter Rudin: Real & Complex Analysis,[10]. Finalizamos este capitulo enunciando algunas generalizaciones de este teorema.Teorema 4.4 (Müntz - Szász)Supongamos que 0 < λ 1 < λ 2 < . . . < λ n < . . . y que Y = span{1, t λ 1, t λ 2, . . .}.1. Si2. Si∞∑n=1∞∑n=11λ n= ∞, entonces Y = C[0, 1].1λ n< ∞ y si λ ∉ {λ n }, λ ≠ 0 entonces Y no contiene la función t λ∞∑ 1Prueba. a) Supongamos que = ∞. Si Y contiene al conjunto de todos losλn=1 npolinomios, el teorema de Weierstrass nos garantizaría entonces que Y es denso en C[0, 1].Para ver esto, en virtud del lema 1.16, sólo bastaría con mostrar que:t n ∈ Y para cada n ∈ N.Sea n 0 ∈ N, para mostrar que t n 0∈ Y haremos uso del teorema 1.15. Sea φ un funcionallineal en C[0, 1] ∗ tal queφ| Y≡ 0. (4.2)

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 38Entonces, por el teorema de representación de Riesz (Teorema 2.13) existe una medidade borel compleja µ sobre [0, 1] tal que∫φ(f) = fdµ (f ∈ C[0, 1]).El lema 3.13 nos asegura que la función∫f(z) = t z dµ(t) (z ∈ Ω + )[0,1][0,1]es analítica en Ω + , además por (4.2) f se anula en los puntos λ 1 , λ 2 , . . . y ya que la serie∞∑ 1es divergente, el teorema 3.13 implica que f es identicamente igual a cero en Ω + ;λn=1 nen particular, f(n 0 ) = 0.∴ φ(t n 0) = 0. Luego t n 0∈ Y .∞∑ 1b) Supongamos ahora que es convergente.λn=1 nSea λ ∈ R\{0, λ 1 , λ 2 , . . .} y definamos f ∗ como en el teorema 3.12.Sabemos que f ∗ no se anula en λ, además por el teorema 4.3, se tiene la representación∫f ∗ (z) = t z dµ 0 (t) (z ∈ Ω + ) (4.3)[0,1]donde µ 0 es una medida de borel compleja en [0, 1]. Luego, como µ 0 determina un funcionallineal en C[0, 1] ∗ , el cual, por (4.3), no se anula en t λ , concluimos por el teorema 1.17 quet λ no pertenece a Y .Recordando el lema 1.11 obtenemos el siguiente corolarioCorolario 4.5 Si {p n } n∈N es una enumeración creciente de los números primos entoncesel conjunto span{1, t p 1, t p 2, . . .} es denso en C[0, 1].Si α n = 1 + 1 (n ∈ N), el teorema de Muntz - Szasz no nos asegura si Y 0 =nspan{1, t α 1, t α 2, . . .} es denso ó no (C[0, 1]), ya que la sucesión {α n } n no es creciente;sin embargo, en los lemas que están involucrados en la demostración de este teoremanunca se supuso que la sucesión {λ n } n fuese creciente. La demostración del siguiente lemabásicamente es la misma que la del teorema 4.4

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 39Lema 4.6 Sea {λ n } n es una sucesión de números reales, entonces1. Si ínf{λ n : n ∈ N} > 0 y2. Si∞∑n=1∞∑n=11λ n= ∞, entonces Y = C[0, 1]1λ n< ∞ y si λ ∉ {λ n }, λ ≠ 0 entonces Y no contiene la función t λ .Corolario 4.7 Y 0 es denso en C[0, 1].Otro ejemplo surge al considerar las funciones1, t, √ 3√t,√ 4t, t, . . .¿ Será el conjunto Y 1 = span{1, t, √ t,3√ √ t,4t, . . .} denso en C[0, 1]?y la respuesta es si, pues la demostración del teorema 4.4 da para mucho más, observemosque∞∑n=1[1 −]|1/n − 1|=1/n + 1∞∑n=1[1 + 1/n − 1 ]=1/n + 1∞∑n=12n + 1 = ∞esto quiere decir que si f es una función analítica en Ω + acotada y se anula en los puntosde la forma 1/n (n ∈ N) entonces necesariamente f se anula en todo es semiplanoderecho (comparar con el lema 3.13)Si seguimos el esquema de la demostración del teorema de Müntz - Ssász en la partea) tomando en cuenta lo dicho anteriomente llegamos a que Y 1 , es denso en C[0, 1].Con argumentos muy parecidos a los que se encuentran en la demostración del teoremade Müntz - Szász, Peter Borwein y Tomás Erdélyi [4], [7] dieron la demostración delsiguiente teoremaTeorema 4.8 (Generalización del Teorema de Müntz - Szász) Si {λ n } n es una sucesiónde números reales entonces∞∑Y = span{1, t λ 1, t λ 2λ n, . . .} es denso en C[0, 1] ⇔21 + λ = ∞.nn=1

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 40Müntz - Szász en espacios L p [0, 1]Si 0 < p < ∞ y si f es una función compleja definida en [0, 1] la cual es medibleLebesgue se define{∫‖f‖ p =[0,1]} 1/p|f| p dmSea L p [0, 1] el conjunto de todas las funciones f para las que verifica‖f‖ p < ∞Una de las propiedades del conjunto L p [0, 1] es que es un espacio vectorial complejo (conlas operaciones usuales) y que ‖ · ‖ p define una norma sobre este espacio, al considerar elespacio L p [0, 1] como espacio topológico con respecto a la topología que induce la norma‖ · ‖ p , Borwein y Edyerlin demostrar en el mismo trabajo, el siguiente teorema.Teorema 4.9 (Müntz - Szász en L p [0, 1]) Si {λ n } n es una sucesión de números realesdistintos y mayores que −1/p (p ∈ (0, +∞)) entonces son equivalentes1. Span{t λ 1, t λ 2, . . .,t λn , . . .} es denso en L p [0, 1]2.∞∑n=1λ n + 1/p(λ n + 1/p) 2 + 1 = ∞.

Bibliografía[1] L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966.[2] G. Bachman and L. Narice Functional Analysis, Dover Publications, 2000.[3] S. N. Berstein, Colleted Works, Vol 1, constructive theory of functions, (1905-1930),English translation, Atomic Energy Commission, Springfield, Va, 1958.[4] P. B. Borwein and T. Erdélyi, The Full Müntz Theorem in C[0, 1] and L 1 [0, 1], J.London Math. Soc., 54, (1996), 102 - 110.[5] J. B. Conway, A course in Functional Analysis, 2da ed., Springer,1990.[6] J. B. Conway, Functions of one complex variable, 2da ed., Springer-Verlag, 1978.[7] T. Erdélyi, The Full Müntz Theorem revisited, Constr. Approx. 21 (2005), 319 - 335[8] C. Müntz, Über den Approximationsatz von Weierstrass, H. A. Schwartz Festschrift,Berlin (1914) 303-312.[9] H.L. Royden, Real Analysis, The MacMillan Company, 1968.[10] W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3er ed., McGraw-Hill, New York, N.Y., 1987.[11] O. Szasz, Über die Approximation Steliger Funktionen Durch Lineare Aggregate vonPotenzen, Math. Ann. 77 (1916), 482 - 496.41