El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 24[Teorema del Valor Medio de Gauss] El caso en que Ind γ (a) = 1 es de particularinterés: Si f ∈ H(D(a, r)), entoncesf(a) = 12π∫ 2π0f(a + re iθ ) dθ.[Analiticidad] Si Ω ⊂ C es abierto, entonces toda f ∈ H(Ω) puede representarsemediante series de potencias en Ω ; precisando: Si a ∈ Ω entonces existe r > 0 talque∞∑f(z) = c n (z − a) n , ∀ z ∈ D(a, r) ⊂ Ω, ;n=0en particular, toda funcón f ∈H(Ω) es infinitamente diferenciable.Reciprocamente, si f puede representarse mediante series de potencias en Ω,entonces f ∈ H(Ω) y f ′ también se representa mediante series de potencias enΩ.De hecho sientoncesf k (z) =f(z) =∞∑c n (z − a) n ,n=0z ∈ D(a, r),///.∞∑n(n − 1)...(n − k + 1) c n (z − a) n−k , z ∈ D(a, r). (3.2)n=kEn consecuencia, (1.1) implica quek! c k = f k (a) (k = 0, 1, 2, ...),de modo que para cada a ∈ Ω existe una única sucesión {c n } para la que se verifica(1.1).[Ceros de Funciones Analíticas y Unicidad ] Supongamos que Ω es una región,f ∈ H(Ω), y pongamosZ(f) := {a ∈ Ω : f(a) = 0}.///.