El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 30es claro que f n ∈ H(Ω ∗ ) pues es cociente de funciones analítica en Ω ∗ y 2 + λ n + z no seanula en Ω ∗ .∞∑Sea K un subconjunto compacto de Ω ∗ , veamos que la serie |1 − f n (z)| convergeuniformemente en KComo K es compacto existe M > 0 tal quen=1además 1 λ n−→ 0 (ya queM ≥ |2 + 2z| + |2 + z| ∀z ∈ K∞∑ 1< ∞) y en consecuencia λ n → ∞, sea n 0 ∈ N tal queλ nn=1λ n ≥ 2M ∀ n ≥ n 0entonces se verifica las siguientes desigualdades para cada z ∈ K y n ≥ n 01. |2 + 2z| ≤ M2. 0 < λ n − M ≤ |2 + λ n + z|3.Mλ n − M ≤ 2M λ npor lo tanto|2z + 2||1 − f n (z)| =|2 + λ n + z| ≤ Mλ n − M ≤ 2M λ n∞∑ 2Mpara cada n ≥ n 0 y z ∈ K, como la serie converge se tiene por el M−Test deλn=n n 0∞∑∞∑Weierstrass que|1−f n (z)|n=n 0|1−f n (z)| converge uniformemente en K, por lo tantoconverge uniformemente en KAhora aplicando el teorema 3.12 podemos definirf ∗ : Ω ∗ −→ C comon=1f ∗ (z) =z ∏ ∞λ n − z(2 + z) 3 2 + λ n + zn=1(z ∈ Ω ∗ )