El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6Definición 1.2 Si K ⊆ C, {f n } n es una sucesión de funciones complejas definidas enK diremos que la sucesión {f n } n converge uniformemente en K a una función f (y lodenotaremos por f n ⇉ f) si para cada ε > 0 existe n 0 ∈ N tal que|f n (z) − f(z)| < ε para cada z ∈ K y n ≥ n 0Teorema 1.3 (M-test de Weierstrass) Supongamos que {f n } n es una sucesión de funcionescomplejas continuas definidas en Ω ⊆ C, y que existe una sucesión {M n } n ⊆ R +tal queSi|f n (z)| ≤ M n (para cada n ∈ N y z ∈ Ω).∞∑∑M n < ∞ entonces la serie ∞ f n converge uniformemente en Ω a una funciónn=1continua fn=1Teorema 1.4 (Aproximación de Weierstrass) Para cada f ∈ C[0, 1] existe una sucesiónde polinomios {P n } n tal queP n ⇉ fEl teorema de aproximación de Weierstrass nos dice en su forma más sencilla que elconjunto de los polinomios es denso en C[0, 1]. A continuación presentaremos dos lemasque aunque su demostración es relativamente fácil, nos serán de gran utilidad más adelante.Lema 1.5 El disco unitario es homeomorfo al semiplano derecho Ω + := {z ∈ C :Re(z) > 0}Prueba.En efecto:Veamos primero que si z = x + iy ∈ D(0, 1), x, y ∈ R, entonces 1 + z1 − z ∈ Ω+ .x 2 + y 2 < 1 ⇔ (1 − x)(1 + x) − y 2 > 0⇔⇔( )(1 + x + iy)(1 − x + iy)Re> 0(1 − x) 2 + y 2Re( ) 1 + z> 01 − z