El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 34además|f n (x)| ≤ 2|f(x)| ∀x ∈ R y 2f ∈ L 1luego por el teorema de la convergencia dominada∫ ∫f n (x)dm −→∴∫R|f(x)(e itnx − e itx )|dm −→ 0∫| ̂f n (t n ) − ̂f(t)| =∣R≤∫RRRodm∫f(x)e itnx dm −R|f(x)||e itnx − e itx |dm∴ | ̂f n (t n ) − ̂f(t)| −→ 0 y así ̂f es continua en tPor otra parte,∫∫| ̂f(t)| =∣ f(x)e itx dm(x)∣ ≤lo que muestra que ̂f es acotada en R.R=∫RRf(x)e itx dm∣|f(x)e itx |dm(x)|f(x)|dm(x) < ∞Teorema 4.3 Sea f ∗ como en el teorema 3.12, existe una medida de borel compleja µ 0sobre [0, 1] tal que∫f ∗ (z) = t z dµ 0 (t) (z ∈ Ω + )[0,1]Prueba. f ∗ (z) = h(z)(z + 2) 2 (z ∈ Ω ∗ ) donde h(z) = z1 + z∞∏n=1λ n − z2 + λ n + zsea z ∈ Ω + y R > |z + 1| + 1, como f ∗ ∈ H(Ω ∗ ) por la fórmula de Cauchy (Teorema 3.7)podemos afirmar quef ∗ (z) = 1 [∫f ∗ ∫ ](ζ)2πi l Rζ − z dζ + f ∗ (ζ)C Rζ − z dζ (4.1)