El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10Lema 1.11 Supongamos que p 1 , p 2 , . . . es una enumeración creciente de los número primos,entonces = ∞∞∑ 1p nn=1La divergencia de esta peculiar serie fue demostrada por primera vez en 1737 por Eulery la siguiente demostración se debe a ClarksonPrueba.∞∑ 1Supongamos que la serie converge, entonces existe k ∈ N tal quep nn=1∞∑m=k+11p m< 1 2sea Q = p 1 ·p 2 · · ·p k y definamos para cada n ∈ N a n = 1+nQ, note que ninguno de losnúmeros p 1 , p 2 , . . ., p k divide a a n y por lo tanto los factores de a n se encuentran entrelos primos p k+1 , p k+2 , . . .Ahora, si s ∈ N se cumple ques∑n=11a n≤(∞∑ ∑ ∞t=1m=k+11p n) t(1.1)pues la suma de la derecha contiene todos los términos de la suma izquierda. Como la∞∑( ) ( t 1∞∑ ∞) t∑ 1serie es convergente se tiene que la serietambién lo es y en2pt=1t=1 nm=k+1∞∑ 1consecuencia por (1.1) la serie también es convergente.an=1 nSi n ∈ N es claro que1n