El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 26En el estudio de las funciones analíticas en un conjunto abierto Ω, un tópico de granimportancia es el de la distribución de los ceros. El Teorema de Unicidad, mencionadoarriba, afirma que los ceros de una función analítica en una región Ω no pueden acumularseen Ω a menos que la función sea identicamente igual a cero. Otro resultado similar a esteúltimo (y el cual no se deriva del mismo) es el siguiente:Teorema 3.7 Si f ∈ H(U) tal que f es acotada y α 1 , α 2 , . . . son ceros de f en U y si∞∑además (1 − |α n |) = ∞, entonces f ≡ 0n=1Definición 3.8 Supongamos que {U n } n es una sucesión de números complejos, pongamosP n := U 1 · U 2 · U 3 · · ·U n (n = 1, 2, . . .)y supongamos que existe P = límn→∞P n . Entonces escribimosP =∞∏U n (3.4)n=1Los P n son los productos parciales del producto infinito (3.4).El teorema que a continuación se presenta nos va a permitir más adelante construirfunciones analítica en un conjunto abierto Ω con ceros en puntos preescritos en Ω.Teorema 3.9 Supongamos que f n ∈ H(Ω) para n = 1, 2, 3, . . ., que ninguna f n es identicamente0 en ninguna componente de Ω, y que∞∑|1 − f n (z)|n=1converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. Entonces se puede definirf : Ω −→ Ccomof(z) =∞∏f n (z) (z ∈ Ω)n=1y se cumple que f ∈ H(Ω) además, si z 0 ∈ Ω entonces f(z 0 ) = 0, si y sólo si f n (z 0 ) = 0para algún n ∈ N