El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE BOREL REALES Y COMPLEJAS 17si existe una función g ∈ L 1 (µ) tal queentonces f ∈ L 1 (µ)y|f n (x)| ≤ g(x) (n = 1, 2, 3, . . .; x ∈ Y )∫lím |f n − f|dµ = 0n→∞Y∫Yfdµ = lím f n dµn→∞∫YDefinición 2.9 Si µ es una medida de borel compleja, se define |µ| : Σ τ −→ [0, +∞]mediante{∑ ∞|µ|(E) = sup |µ(E n )| : E =i=1}∞⋃E n donde {E n } n ⊆ Σ τ es una colección disjunta dos a dosn=1|µ| recibe el nombre de variación total de µ.Teorema 2.10 Si µ es una medida de borel compleja sobre Y, entonces la variación total|µ| de µ es una medida de borel positiva sobre Y, además |µ|(Y ) < ∞Teorema 2.11 Si µ es una medida de borel compleja existe una función medible borelsobre Y, h tal que |h(x)| = 1 para todo x ∈ Y y∫µ(E) = hd|µ| para toda E ∈ Σ τETeniendo sentido definir la integral de una función medible borel f sobre un subconjuntoE ∈ Σ τ con respecto a la medida µ como:∫ ∫fdµ = fhd|µ|ETeorema 2.12 Si µ es una medida de borel positiva sobre Y, g ∈ L 1 (µ) y∫λ(E) = gdµ (E ∈ Σ τ )EE