El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7Ahora podemos definirf : D(0, 1) −→ Ω +comof(z) = 1 + z (z ∈ D(0, 1))1 − zI) f es inyectiva: si z 1 , z 2 ∈ D(0, 1) y f(z 1 ) = f(z 2 ) entoncesII)1 + z 11 − z 1= 1 + z 21 − z 2⇔ 1 − z 2 + z 1 − z 1 z 2 = 1 + z 2 − z 1 − z 1 z 2 ⇔ z 1 = z 2f es sobreyectiva: si z 0 = a + bi ∈ Ω + , a, b ∈ R entoncesademásfa > 0 ⇔ (a − 1) 2 + b 2 ≤ (a + 1) 2 + b 2 ⇔ z 0 − 1z 0 + 1( )z0 − 1=z 0 + 11 + z 0 − 1z 0 + 11 − z 0 − 1z 0 + 1= 2z 02 = z 0∈ D(0, 1)luego por la parte I) y II) existe f −1 : Ω + −→ D(0, 1) ademásf −1 (z) = z − 1z + 1de más este decir f y f −1 son funciones continuas.(z ∈ Ω + )Lema 1.6 Si {λ n } es una sucesión de números reales positivos tal que c := ínf{λ n : n ∈∞∑ 1∞∑[N} > 0 y = ∞, entonces 1 − |λ ]n − 1|= ∞λ n λ n + 1n=1Note que 1 − |λ n − 1|λ n + 1Prueba.n=1> 0 para cada n ∈ NDefinimos A = {n ∈ N : λ n ≤ 1} y B = N\A entonces A es finito o infinitoCaso I: A es finitoEn este caso se tiene que por ser la serieademás∞∑n=11divergente, también lo es la serie ∑ 1,λ n λn∈B n