El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

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Índice generalIntroducción 11. Preliminares 31.1. Discos abiertos y la topología en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. El espacio C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. El Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. El Teorema de Hahn-Banach y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Medidas de Borel reales y complejas 142.1. El Teorema Representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Funciones analíticas y distribución de ceros 214. El Teorema de Müntz - Szász 334.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. El Teorema de Müntz - Szász . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37i
IntroducciónUno de los resultados mejor conocidos en el análisis es el Teorema de Weierstrass el cualafirma que el conjunto de los polinomios es denso en el espacio de las funciones continuasC[0, 1] (con la topología uniforme). Este teorema fue demostrado por Karl Weierstrassen 1985. Más tarde, Marshall Stone enfocándose en algunas propiedades funcionales dela familia de los polinomios, notó que si un conjunto de funciones en C[0, 1] contaba conesas propiedades entonces este debía de ser denso en C[0, 1]. Dicho resultado es conocidocomo el teorema ó generalización de Stone - Weierstrass.Esta generalización nos permite dar numerosos ejemplos de familias densas en C[0, 1]distintas de la familia de los polinomios; sin embargo, al considerar una sucesión denúmeros reales positivos {λ n } n∈N creciente, y la familia F que surge al hacer combinacioneslineales de las funciones1, t λ 1, t λ 2, . . .,t λn , . . .dicho teorema no es lo “suficientemente general” para poder afirmar que F es denso enC[0, 1]. La pregunta que surge entonces es: ¿ Cuál es la condición necesaria y suficiente paraque F sea denso en C[0, 1]?, esta interrogante la hizo Berstein [3], que a su vez sugirió que∞∑ 1dicha condición fuese que la serie divergiese. Este no estaba equivocado, puesλn=1 nHerman Müntz [8] logró demostrarlo en el año 1914 y dos años más tarde Otto Szász [11]dió otra manera de demostrarlo, actualmente este resultado es conocido como el Teoremade Müntz - Szász.El presente trabajo tendrá como finalidad discutir y dar una demsotración de esteteorema como aparece en el texto Real and Complex Analysis de Walter Rudin [10]. Dichademostración involucra teoremas del Análisis funcional, teoría de la medida y funcionesanalíticas, por esto hemos estructurado este trabajo en 4 capítulos:1
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