El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 22∫f(z)dz =∫ bγaf(γ(t))γ ′ (t)dtEjemplo 3.4 Definamos f : C\{0} −→ C y γ : [0, 2π] −→ C\{0} comof(z) = 1 z(z ∈ C\{0}),γ(t) = e it = cost + i sen tCalculemos la integral de f sobre γ∫γf(z)dz =∫ 2π0f(γ(t))γ ′ (t)dt =∫ 2π0(t ∈ [0, 2π])(− sen t + i cost)dtcost + i sen t===∫ 2π0∫ 2π0∫ 2π0(− sen t + i cost)(cos t − i sen t)dt(−sent cos t + i sen 2 t + i cos 2 t + sen t cost)dt∫ 2π0dt + i dt = 0 + i2π = i2π.0Teorema 3.5 Sea γ un camino cerrado, sea k = C\γ ∗ y definimosInd γ (z) = 1 ∫dζ(z ∈ K)2πi ζ − zγentonces Ind γ es una función definida sobre K a valores enteros que es constante en cadacomponente de K y que es 0 en la componente no acotada de KEjemplo 3.6 Si γ es la circunferencia orientada positivamente con centro en a ∈ C yradio r, se tendría que las componente de C\γ ∗ son D(a, r) y C\D(a, r) siendo está últimala componente no acotada, lo cual por el teorema anterior se tendría queInd γ (z) = 0 si |z − a| < r