El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

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CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 38Entonces, por el teorema de representación de Riesz (Teorema 2.13) existe una medidade borel compleja µ sobre [0, 1] tal que∫φ(f) = fdµ (f ∈ C[0, 1]).El lema 3.13 nos asegura que la función∫f(z) = t z dµ(t) (z ∈ Ω + )[0,1][0,1]es analítica en Ω + , además por (4.2) f se anula en los puntos λ 1 , λ 2 , . . . y ya que la serie∞∑ 1es divergente, el teorema 3.13 implica que f es identicamente igual a cero en Ω + ;λn=1 nen particular, f(n 0 ) = 0.∴ φ(t n 0) = 0. Luego t n 0∈ Y .∞∑ 1b) Supongamos ahora que es convergente.λn=1 nSea λ ∈ R\{0, λ 1 , λ 2 , . . .} y definamos f ∗ como en el teorema 3.12.Sabemos que f ∗ no se anula en λ, además por el teorema 4.3, se tiene la representación∫f ∗ (z) = t z dµ 0 (t) (z ∈ Ω + ) (4.3)[0,1]donde µ 0 es una medida de borel compleja en [0, 1]. Luego, como µ 0 determina un funcionallineal en C[0, 1] ∗ , el cual, por (4.3), no se anula en t λ , concluimos por el teorema 1.17 quet λ no pertenece a Y .Recordando el lema 1.11 obtenemos el siguiente corolarioCorolario 4.5 Si {p n } n∈N es una enumeración creciente de los números primos entoncesel conjunto span{1, t p 1, t p 2, . . .} es denso en C[0, 1].Si α n = 1 + 1 (n ∈ N), el teorema de Muntz - Szasz no nos asegura si Y 0 =nspan{1, t α 1, t α 2, . . .} es denso ó no (C[0, 1]), ya que la sucesión {α n } n no es creciente;sin embargo, en los lemas que están involucrados en la demostración de este teoremanunca se supuso que la sucesión {λ n } n fuese creciente. La demostración del siguiente lemabásicamente es la misma que la del teorema 4.4
CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 39Lema 4.6 Sea {λ n } n es una sucesión de números reales, entonces1. Si ínf{λ n : n ∈ N} > 0 y2. Si∞∑n=1∞∑n=11λ n= ∞, entonces Y = C[0, 1]1λ n< ∞ y si λ ∉ {λ n }, λ ≠ 0 entonces Y no contiene la función t λ .Corolario 4.7 Y 0 es denso en C[0, 1].Otro ejemplo surge al considerar las funciones1, t, √ 3√t,√ 4t, t, . . .¿ Será el conjunto Y 1 = span{1, t, √ t,3√ √ t,4t, . . .} denso en C[0, 1]?y la respuesta es si, pues la demostración del teorema 4.4 da para mucho más, observemosque∞∑n=1[1 −]|1/n − 1|=1/n + 1∞∑n=1[1 + 1/n − 1 ]=1/n + 1∞∑n=12n + 1 = ∞esto quiere decir que si f es una función analítica en Ω + acotada y se anula en los puntosde la forma 1/n (n ∈ N) entonces necesariamente f se anula en todo es semiplanoderecho (comparar con el lema 3.13)Si seguimos el esquema de la demostración del teorema de Müntz - Ssász en la partea) tomando en cuenta lo dicho anteriomente llegamos a que Y 1 , es denso en C[0, 1].Con argumentos muy parecidos a los que se encuentran en la demostración del teoremade Müntz - Szász, Peter Borwein y Tomás Erdélyi [4], [7] dieron la demostración delsiguiente teoremaTeorema 4.8 (Generalización del Teorema de Müntz - Szász) Si {λ n } n es una sucesiónde números reales entonces∞∑Y = span{1, t λ 1, t λ 2λ n, . . .} es denso en C[0, 1] ⇔21 + λ = ∞.nn=1
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