El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 37∫µ(E) =EPdtE ∈ Σ t(0,1]por el teorema 2.12 µ es una medida de borel compleja en (0, 1] que claramente la podemosextender a una medida compleja µ 0 en [0, 1], obteniendo finalmente quef ∗ (z) =∫ 10t z dµ 0 (t)4.2. El Teorema de Müntz - SzászEn este capítulo daremos una de las demostraciones del Teorema de Muntz - Szász. Asaber, la que se expone en el famoso texto de Walter Rudin: Real & Complex Analysis,[10]. Finalizamos este capitulo enunciando algunas generalizaciones de este teorema.Teorema 4.4 (Müntz - Szász)Supongamos que 0 < λ 1 < λ 2 < . . . < λ n < . . . y que Y = span{1, t λ 1, t λ 2, . . .}.1. Si2. Si∞∑n=1∞∑n=11λ n= ∞, entonces Y = C[0, 1].1λ n< ∞ y si λ ∉ {λ n }, λ ≠ 0 entonces Y no contiene la función t λ∞∑ 1Prueba. a) Supongamos que = ∞. Si Y contiene al conjunto de todos losλn=1 npolinomios, el teorema de Weierstrass nos garantizaría entonces que Y es denso en C[0, 1].Para ver esto, en virtud del lema 1.16, sólo bastaría con mostrar que:t n ∈ Y para cada n ∈ N.Sea n 0 ∈ N, para mostrar que t n 0∈ Y haremos uso del teorema 1.15. Sea φ un funcionallineal en C[0, 1] ∗ tal queφ| Y≡ 0. (4.2)