El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 13Note que si x ∈ M y λ ∈ C entoncesx + λx 0 = 0 ⇐⇒ x = 0 y λ = 0y esto nos permite asegurar que g esta bien definido y que además es un funcional linealen L además si λ ≠ 0|g(x + λx 0 )|‖x + λx 0 ‖ = | − λ|‖x + λx 0 ‖ = 1∥∥− x λ − x 0∥por (1.2)1∥∥− x λ − x 0∥> 1 δ∴|g(x + λx 0 )|‖x + λx 0 ‖< 1 δ∴ g ∈ L ∗ , luego por el teorema de Hahn - Banach, existe G ∈ X ∗ tal que G| L ≡ g comopara cada x ∈ M g(x) = 0 se concluye que G| M ≡ 0Sin embargo, G(x 0 ) = G(0 + 1x 0 ) = 1, lo cual contradice nuestra hipótesis.Lema 1.16 Si M es un subespacio vectorial de X entonces M también lo esPrueba. Sean x, y ∈ M y λ ∈ C, para mostrar que λx + y ∈ M, bastaría mostrar quetodo funcional lineal f en M ∗ que se anule en M se tiene que anular en λx + y.Sea f ∈ M ∗ tal que f| M ≡ 0 como x, y ∈ M se tiene que f(x) = f(y) = 0∴ f(λx + y) = λf(x) + f(y) = 0 Vale la pena destacar que aunque el Teorema de Hanh - Banach depende del Axiomade Elección, el lema anterior no depende de esté pués se puede demostrar de una formasimilar a lo hecho en el lema 1.1.