El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12Sea x ∈ M\{0} ya quex∥‖x‖{ |f(x)|‖x‖ : x ∈ M\{0} }δ2∥ = δ ∣ ∣∣∣2 < δ se cumple por (1) que f( x‖x‖)∣δ ∣∣∣< 12∴δ2‖x‖ |f(x)| < 1∴|f(x)|‖x‖< 2 δUno de los teoremas más conocido y básico en el Análisis funcional es el de Hahn -Banach, el cual nos será de gran utilidad más adelante y sólo lo enunciaremos.Teorema 1.14 (Hahn - Banach) Si f ∈ M ∗ entonces existe F ∈ X ∗ tal que F | M ≡ fy ‖f‖ M = ‖F ‖ XTeorema 1.15 Si M es un subespacio vectorial de X y x 0 ∈ X, entonces,x 0 ∈ M si y sólo si para cada f ∈ X ∗ que se anule en todo M se cumple que f(x 0 ) = 0Prueba.(⇒) Si x 0 ∈ M, existe una sucesión {x n } n∈N ⊆ M tal que ‖x n − x 0 ‖ −→ 0. Sea f ∈ X ∗una función que se anule en todo M, por el teorema 3.1 f es continua en x 0 , por lo tantof(x n ) −→ f(x 0 ) pero f(x n ) = 0 para cada n ∈ N∴ f(x 0 ) = 0(⇐) Supongamos que x 0 ∉ M, en tal caso existiría δ > 0 tal que‖x − x 0 ‖ > δ para cada x ∈ M (1.2)Sea L = {x + λx 0 : x ∈ M y λ ∈ C}, claramente L es un subespacio vectorial de X quecontiene a M, definamosg : L −→ Ccomog(x + λx 0 ) = λ (x ∈ M, λ ∈ C)