El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8∑n∈BPor lo tanto[1 − |λ ]n − 1|= ∑ 2yλ n + 1 1 + λ nn∈B∑n∈BCaso II: A es infinito[1 − |λ ]n − 1|= ∞ y asíλ n + 11< 2 para cada n ∈ Bλ n 1 + λ n∞∑n=1[1 − |λ ]n − 1|= ∞λ n + 1Como para cada n ∈ A0 < c < λ n < 2λ nse cumple que1 + λ n∑[1 − |λ ]n − 1|= ∑ 2λ n= ∞λn∈A n + 1 1 + λn∈B n∞∑[por lo tanto 1 − |λ ]n − 1|= ∞ λ n + 1n=11.3. El Teorema de Stone-WeierstrassEn esta sección mostraremos que la conclusión del Teorema de Weierstrass se puedeextender a familias de funciones que satisfacen propiedades similares a las del conjuntode los polinomios, para esto definiremos en primer lugar lo siguiente:Definición 1.7 Diremos que un conjunto R ⊆ C[0, 1] tiene la propiedad de Stone sisatisface las siguientes condiciones:1. f + g, f · g, cf, f ∈ R ∀ f, g ∈ R y c ∈ C2. Para cada par de puntos x 1 , x 2 ∈ [0, 1] existe f ∈ R tal que f(x 1 ) ≠ f(x 2 )3. Para cada x ∈ [0, 1] existe f ∈ R tal que f(x) ≠ 0Si f es una función compleja definida en [0, 1], denotaremos por X f al conjunto formadopor todas las combinaciones lineales de las funciones