El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

Capítulo 4El Teorema de Müntz - Szász4.1. Transformada de FourierEn esta sección utilizaremos la letra m para representar a la medida de Lebesgue en Ry denotaremos por L 1 al conjunto de las funciones complejas f, definidas en R y mediblesLebesgue tales que∫|f|dm es finita.Definición 4.1 Si f ∈ L 1 se define ̂f : R −→ C comôf(t) = 1 ∫f(x)e −ixt dm(x)2πA la función ̂f se le llama transformada de Fourier de fRR(t ∈ R).El teorema que nos será de gran utilidad en este trabajo es el que afirma que ̂f escontinua y acotada.Teorema 4.2 Si f ∈ L 1 , entonces ̂f es continua en todo R y además es acotada.Prueba. Sea t ∈ R. Para probar la continuidad en t, supongamos que {t n } n ⊆ R esuna sucesión que converge a t y veamos que ̂f(t n ) −→ ̂f(t) definamos para cada n ∈ N lafunción f n : R −→ C como f n (x) = f(x)(e itnx − e itx ) (t ∈ R) entonces para cada x ∈ Rf n (x) −→ 033