El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS Y DISTRIBUCIÓN DE CEROS 27Hasta los momentos hemos definido conceptos y enunciado teoremas (a los que porobvias razones de exposicion y espacio le hemos omitido su demostración) los cuales sonconocidos en distintos ramas de la matemática y que nos servirán para demostrar elteorema de Muntz - Szasz. Resulta muy gratificante obtener y demostrar resultados, coninteres propio, que se derivan de aquellos teoremas “básicos”, para comenzar veamos comoejemplo el siguiente resultado.Teorema 3.10 Sea µ una medida de borel compleja sobre un espacio X, Ω un conjuntoabierto de C y ϕ una función compleja definida sobre Ω × X tal que1. ϕ es acotada;2. ϕ∣ es una función medible para cada z ∈ Ω;{z}×X3. ϕ∣ ∈ H(Ω) para cada t ∈ XΩ×{z}∫Si definimos f : Ω −→ C como f(z) = ϕ(z, t)dµ(t)X(z ∈ Ω), entonces f ∈ H(Ω).Prueba.Para demostrar que f ∈ H(Ω), basta con ver que f satisface las hipótesis del Teorema deMorera.I) f es continua en ΩSea z 0 ∈ Ω y ε > 0, sin pérdida de generalidad supongamos que µ es una medida nonula, y que D(z 0 , ε) Ω, tomemos δ = mín{ε/2,ε 22M|µ|(X)}donde M es una cota enR + de la función ϕ.Veamos que f(D(z 0 , δ)) ⊆ D(f(z 0 ), ε)Si z ∈ D(z 0 , δ)\{z 0 } y γ es una circunferencia orientada positivamente con centro z 0 yradio δ.Por la formula de Cauchy se tiene que:para cada t ∈ XLuegoϕ(z, t) = 12πi∫γϕ(ξ, t)ξ − z dξ y ϕ(z 0, t) 12πi∫γϕ(ξ, t)ξ − z 0dξ