El Teorema de Muntz - Szasz - Universidad de Los Andes

CAPÍTULO 4. EL TEOREMA DE MÜNTZ - SZÁSZ 38Entonces, por el teorema de representación de Riesz (Teorema 2.13) existe una medidade borel compleja µ sobre [0, 1] tal que∫φ(f) = fdµ (f ∈ C[0, 1]).El lema 3.13 nos asegura que la función∫f(z) = t z dµ(t) (z ∈ Ω + )[0,1][0,1]es analítica en Ω + , además por (4.2) f se anula en los puntos λ 1 , λ 2 , . . . y ya que la serie∞∑ 1es divergente, el teorema 3.13 implica que f es identicamente igual a cero en Ω + ;λn=1 nen particular, f(n 0 ) = 0.∴ φ(t n 0) = 0. Luego t n 0∈ Y .∞∑ 1b) Supongamos ahora que es convergente.λn=1 nSea λ ∈ R\{0, λ 1 , λ 2 , . . .} y definamos f ∗ como en el teorema 3.12.Sabemos que f ∗ no se anula en λ, además por el teorema 4.3, se tiene la representación∫f ∗ (z) = t z dµ 0 (t) (z ∈ Ω + ) (4.3)[0,1]donde µ 0 es una medida de borel compleja en [0, 1]. Luego, como µ 0 determina un funcionallineal en C[0, 1] ∗ , el cual, por (4.3), no se anula en t λ , concluimos por el teorema 1.17 quet λ no pertenece a Y .Recordando el lema 1.11 obtenemos el siguiente corolarioCorolario 4.5 Si {p n } n∈N es una enumeración creciente de los números primos entoncesel conjunto span{1, t p 1, t p 2, . . .} es denso en C[0, 1].Si α n = 1 + 1 (n ∈ N), el teorema de Muntz - Szasz no nos asegura si Y 0 =nspan{1, t α 1, t α 2, . . .} es denso ó no (C[0, 1]), ya que la sucesión {α n } n no es creciente;sin embargo, en los lemas que están involucrados en la demostración de este teoremanunca se supuso que la sucesión {λ n } n fuese creciente. La demostración del siguiente lemabásicamente es la misma que la del teorema 4.4