Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Consideremos pequeñas oscilaciones alrededor de las posiciones de equilibrio estable
q 0i . La pequeña desviación del equilibrio correspondiente a la coordenada q i la denotaremos
por η i ,
η i
q i = q 0i + η i , con ≪ 1 . (4.35)
q 0i
El valor del potencial V (q 1 , . . . , q s ) cerca de la configuración de equilibrio se puede
obtener mediante la expansión de Taylor en varias variables de V (q 1 , . . . , q s ) alrededor
de {q 0i }, con q i = q 0i + η i ,
V (q 1 , . . . , q s ) = V (q 01 , . . . , q 0s ) + ∑ ( ∂V
∂q
i ✚ ✚✚✚✚❃0 η i +
i
)q 1 ∑ ∑
( ∂ 2 )
V
η i η j + · · · ,
0i
2 ∂q
i j i ∂q j q i0,q j0
(4.36)
donde V (q 01 , . . . , q 0s ) es un valor constante. Luego, cerca de la configuración de equilibrio
q i = q 0i + η i , el potencial se puede expresar como
V (q 1 , . . . , q s ) = V (η 1 , . . . , η s ) = 1 ∑
V ij η i η j , (4.37)
2
donde definimos los coeficientes
( ∂ 2 V
V ij ≡
. (4.38)
∂q i ∂q j
)(q 0i,q 0j)
Estos coeficientes son simétricos, i.e., V ij = V ji , y dependen de propiedades locales del
potencial cerca de la configuración de equilibrio y, por tanto, son característicos de cada
sistema.
La energía cinética del sistema cerca de la configuración de equilibrio también puede
expresarse en función de los pequeños desplazamientos η i ,
T = 1 ∑
T ij ˙q i ˙q j = 1 ∑
T ij
2
2
(✚˙q ✚❃0 0i + ˙η i )( ✚ ˙q ✚❃ 0
0j + ˙η j ) , (4.39)
i,j
(los valores q 0i son constantes). Luego,
i,j
i,j
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j , (4.40)
2
i,j
donde los coeficientes T ij = T ji representan parámetros constantes que dependen de
propiedades del sistema (masas, longitudes, etc.).
El Lagrangiano del sistema cerca de la configuración de equilibrio es
L = T − V = 1 ∑
(T ij ˙η i ˙η j − V ij η i η j ) i, j = 1, 2, . . . , s. (4.41)
2
i,j