Mecánica Clásica

6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 253
Sustituyendo las Ecs. (6.178), tenemos
˙Q i = ∑ ( ∂Qi
k
( ∂Qi ∂H ′
− ∂Q i
∂q k ∂p k ∂q k
= ∑ k
= ∑ k
− ∑ k
+ ∑ k
∂H
− ∂Q )
i ∂H
+ ∂Q i
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k ∂t
⎡
∂Q i
⎣ ∑
∂q k
j
⎡
∂Q i
∂p k
⎣ ∑ j
[ ( ∂ ∂F
∂q k ∂t
˙Q i = ∑ j
∂ 2 F
∂p k ∂t − ∂Q i ∂H ′
+ ∂Q i
∂p k ∂q k ∂p k
( ∂H
′
∂Q j
∂Q j
∂p k
+ ∂H′
∂P j
∂P j
∂p k
) ⎤ ⎦
( ∂H
′
∂Q j
∂Q j ∂q k
) ∂Qi
∂p k
−
∂H ′
∂P j
[ ∑
k
+ ∂H′
∂P j
∂P j
∂q k
) ⎤ ⎦
∂ ( ∂F
∂p k ∂t
Reagrupando terminos y cambiando el orden de las sumas, tenemos
( ∂Qi ∂P j
− ∂Q ) ]
i ∂P j
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
es decir,
Para que se satisfaga ˙Q i = ∂H′
∂P i
+ ∑ [
∂H ′ ∑
∂Q
j j
k
[ ] ∂F
+
∂t , Q i
(p,q)
˙Q i = ∑ ∂H ′
[Q i , P j ] (p,q) + ∑ ∂P
j j
j
[ ] ∂F
+
∂t , Q i
(p,q)
i) [Q i , P j ] (p,q) = δ ij .
El primer término en la Ec. (6.184) entonces da
∂ 2 )
F
+ ∂Q i
∂q k ∂t ∂t
) ] ∂Qi
+ ∂Q i
∂q k ∂t . (6.182)
( ∂Qi ∂Q j
− ∂Q ) ]
i ∂Q j
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
+ ∂Q i
∂t ; (6.183)
∂H ′
∂Q j
[Q i , Q j ] (p,q)
+ ∂Q i
∂t . (6.184)
en la Ec. (6.184), debemos tener necesariamente,
∑
ii) [Q i , Q j ] (p,q) = 0.
El segundo término en la Ec. (6.184) entonces se anula.
j
∂H ′
∂P j
δ ij = ∂H′
∂P i
. (6.185)