Mecánica Clásica

3.3.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ÓRBITA. 113
y expresando el lado derecho de la Ec. (3.81) en términos de u,
∂V
∂r = ∂V
∂u
la Ec. (3.81) se puede expresar como
∂u
∂r = − 1 ∂V
r 2 ∂u
= −u2
∂V
∂u , (3.84)
l 2 d ( ) du
µ u2 + l2
dθ dθ µ u3 = −u 2 ∂V
∂u , (3.85)
es decir,
l 2 µ
[ d 2 u
dθ 2 + u ]
= − ∂V
∂u
(3.86)
La Ec. (3.86) constituye la ecuación diferencial de la órbita para r(θ) = 1/u(θ) en
términos del potencial V (r) = V (1/u).
Esta ecuación de la órbita se puede usar para encontrar el potencial (o la fuerza)
central que da lugar a una órbita dada, o para determinar la órbita resultante de un
potencial (o fuerza) dado.
Ejemplo.
1. Encontrar el potencial V (r) que produce la órbita
r(θ) = r o e −aθ , r o , a constantes. (3.87)
Tenemos
u = 1 r = 1 r o
e aθ . (3.88)
Luego,
La Ec. (3.86) para la órbita queda
Entonces,
d 2 u
dθ 2 = a2
r o
e aθ = a 2 u. (3.89)
l 2 µ (a2 + 1)u = − ∂V
∂u . (3.90)
V (u) = − 1 l 2
2 µ (a2 + 1)u 2 ⇒ V (r) = − k , k = cte. (3.91)
r2