Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
4. Momentos de inercia de una esfera uniforme, de masa M y radio R.
Figura 5.13: Cuerpo rígido esférico.
La simetría esférica implica que I 11 = I 22 = I 33 . Por otro lado, la suma
I 11 + I 22 + I 33 = 2 ∑ j
m j (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) = 2 ∑ j
m j r 2 j . (5.73)
Luego, para una esfera
3I 11 = 2 ∑ j
m j r 2 j . (5.74)
Para una distribución continua y uniforme de masa, tenemos
I 11 = 2 ∫
r 2 ρ dV = 2 ∫ R
3
3 ρ r 2 (4πr 2 ) dr = 2 ∫ R
3 4πρ r 4 dr = 2 3 4πρR5 5 . (5.75)
Sustituyendo la densidad de masa ρ =
0
3M
4πR 3 , obtenemos
0
I 11 = I 22 = I 33 = 2 5 MR2 . (5.76)
Si tenemos un cascarón esférico de radio R y masa M, la densidad de masa se puede
expresar como ρ =
M δ(r − R), donde δ(r − R) es la función delta de Dirac, tal
4πR2 que δ(r − R) = 0 si r ≠ R. Se puede verificar que
∫
M = ρ dV =
M ∫
4πR 2 4πr 2 δ(r − R) dr. (5.77)
Luego, los momentos de inercia de un cascarón esférico de radio R y masa M son
I 11 = I 22 = I 33 = 2 ∫
r 2 ρ dV
3
= 2 ∫ R
3 ρ 4πr 4 δ(r − R) dr
0
= 2 3 MR2 . (5.78)