Mecánica Clásica

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 89
Puesto que ∂L
∂t
= 0, la energía es una cantidad conservada,
E = ∂L ˙q − L = cte,
∂ ˙q
= 1 2 a ˙q2 + V ef (q) = cte. (2.103)
Hay un grado de libertad y una cantidad conservada; el sistema es integrable. De la
cantidad conservada E, se puede determinar t(q) en términos de una integral,
˙q = dq
√
2
dt = a (E − V ef(q)) (2.104)
√ ∫ a dq
t(q) = √ + cte. (2.105)
2 E − Vef (q)
Luego, en principio, se puede invertir t(q) para obtener q(t). Para que la solución q(t)
sea real, el movimiento puede ocurrir solamente para valores de q tales que E ≥ V ef (q).
Un sistema integrable con varios grados de libertad puede reducirse, en principio, a
un sistema unidimensional con una energía de la forma Ec. (2.103).
Período de un movimiento unidimensional.
La condición de integrabilidad de sistemas unidimensionales permite calcular el período
de movimientos oscilatorios en esos sistemas. Consideremos un sistema descrito por la
coordenada cartesiana q = x y cuya energía potencial es V ef = V (x). Entonces, a ≡ m.
El Lagrangiano del sistema es L = T − V = 1 2 mẋ2 − V (x) y la ecuación de movimiento
correspondiente es
mẍ = − dV
dx . (2.106)
La energía total es
E = 1 2 mẋ2 + V (x) = cte. (2.107)
Puesto que 1 2 mẋ2 = E − V (x) ≥ 0, el movimiento sólo puede ocurrir para valores de x
tal que E ≥ V (x). En la Fig. (2.7), esto corresponde a las regiones x ∈ [x 1 , x 2 ], x ≥ x 3 .
Los puntos de retorno (o estacionarios) son aquellos donde la velocidad instantánea
es cero, es decir, ẋ = 0. Luego, los puntos de retorno corresponden a los valores de x tales
que V (x) = E. La Ec. (2.105) implica que en los puntos de retorno, ẋ = 0 (velocidad
instantánea es cero). En la Fig. (2.7), x 1 , x 2 y x 3 son puntos de retorno, dados por:
V (x 1 ) = E, V (x 2 ) = E, V (x 3 ) = E.
Los puntos de equilibrio x = x o son aquellos donde la fuerza instantánea se anula,
f(x o ) = dV
dx ∣ = 0, (2.108)
xo
o equivalentemente, donde la aceleración es cero, ẍ = 0.