Mecánica Clásica

2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAÓTICOS. 87
Un sistema caótico presenta una evolución irregular e impredecible de sus variables
dinámicas debido a la existencia de sensibilidad extrema ante cambios infinitesimales
en las condiciones iniciales de esas variables. Dos trayectorias que parten de condiciones
iniciales arbitrariamente cercanas, pueden evolucionar de maneras muy diferentes, aunque
la dinámica está regida por las mismas ecuaciones (Fig. (2.4)). Esto conlleva a limitaciones
prácticas en la capacidad de predicción del comportamiento de sistemas deterministas
no lineales.
Figura 2.5: Caos en una realización experimental del péndulo doble. Arriba: θ 1 vs. t. Abajo: θ 2
vs. t. En cada gráfica, se muestra la evolución del ángulo a partir de dos condiciones iniciales
muy cercanas, ∆θ 1(0) = ∆θ 2(0) = 10 −3 .
Si consideramos el límite de pequeñas amplitudes de las oscilaciones, θ 1 → 0 y θ 2 → 0,
las ecuaciones de movimiento pueden linealizarse usando la aproximación sin x ≈ x, y
cos x ≈ 1, para x → 0, quedando
¨θ 1 ≈ g(θ 2 − µθ 1 )
l 1 (µ − 1)
¨θ 2 ≈ gµ(θ 1 − θ 2 )
l 2 (µ − 1)
(2.98)
. (2.99)
En este caso no se observa caos; el movimiento del sistema consiste en la superposición
de dos modos de oscilación periódica con sus correspondientes frecuencias: un modo en
fase (θ 1 = θ 2 ) y otro modo en fases opuestas (θ 1 = −θ 2 ). (Capítulo 4).
El límite de pequeñas amplitudes equivale a valores pequeños de la energía del sistema.
Luego, el comportamiento del péndulo doble puede ser regular para ciertas condiciones,
a pesar de que el sistema es no integrable.